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COMPTES RENDUS

HEBDOMADAIRES

DES SÉANCES

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES.

8-9o/f.A. 43

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11 ) ii ir

COMPTES RENDUS

HEBDOMADAIRES

DES SÉANCES

DE L ACADÉMIE DES SCIENCES

PUBLIKS

CONFORMÉMENT A UNE DÉCISION DE L'ACADÉMIE

£» date Du. <3 (DuiM&t i835 ,

PAR MM. LES SECRÉTAIRES PERPÉTUELS.

TOME QUARANTE-TROISIÈME.

JUILLET - DÉCEMBRE 18S6.

«Igfl

PARIS,

MALLET- BACHELIER, IMPRIMEUR -LIBRAIRE

DES COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES,

Quai des Augustins, 55. 1856

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COMPTE RENDU

DES SÉANCES

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES.

SÉANCE DU LUNDI 7 JUILLET 1856. PRÉSIDENCE DE M. IS. GEOFFROY-SAINT-HILAmE.

MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS

DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE.

M. le Secrétaire perpétuel donne des nouvelles de la santé de M. de Gasparin que M. Rayer a trouvé dans un état assez satisfaisant pour faire espérer de le revoir prochainement à l'Académie.

M. le Président de l'Institut invite l'Académie des Sciences à désigner un de ses Membres pour faire une lecture dans la séance annuelle des cinq Académies, qui aura lieu le i5 août prochain.

physique mathématique Mémoire sur le mouvement de la chaleur dans un système quelconque de points ; par M. Duhamel.

« Ce Mémoire a pour objet la démonstration de plusieurs théorèmes relatifs à la propagation de la chaleur dans un système de points matériels, en nombre quelconque, et situés à des distances arbitraires les uns des autres.

» Un pareil système, pris dans toute sa généralité, renferme évidemment les corps naturels. Car la continuité qu'on y suppose ordinairement n'est qu'une fiction qui a pour objet de simplifier les calculs auxquels conduirait la multitude indéfinie de points qu'il faudrait admettre, pour représenter les corps tels qu'ils sont.

C. R., i856, 2"" Semestre. (T. XLIII, 1.) *

(»)

» Ainsi les propositions générales auxquelles on parvientde cette manière, indépendamment du nombre des points, s'appliquent évidemment aux corps naturels. Mais les calculs qui se rapportent à ces derniers, considérés comme continus, étant d'une forme très-différente de ceux qui se rap- portent à un système de points distincts, il faut être très-réservé dans l'ex- tension des théorèmes algébriques, d'un cas à l'autre. Néanmoins, lors même que ce passage laisserait quelques doutes dans l'esprit, il indique au moins par une forte induction ce qu'il y a à chercher, et il ne reste qu'à com- pléter la démonstration, en faisant usage des équations spéciales de la nouvelle question.

» La marche que j'indique ici a été souvent suivie par les géomètres dans diverses questions de physique mathématique, principalement lors- qu'ils avaient pour objet d'établir des principes généraux, et non d'ef- fectuer des calculs. J'ajouterai que plusieurs des propositions renfermées dans ce Mémoire ont déjà été démontrées, notamment celles qui se rap- portent à la réalité et à l'inégalité des racines de l'équation déterminée qui se présente toujours dans ces questions. Mais les méthodes que j'em- ploie sont nouvelles, et les démonstrations sont tellement simples, que quand il n'y aurait que cela dans mon travail, je ne' le croirais pas entière- ment inutile.

» Equations du mouvement de la chaleur dans un système quelconque de points. Supposons un nombre quelconque de points matériels sans étendue sensible, dont les températures peuvent varier avec le temps, en- tourés de points ou de corps à des températures différentes, mais inva- riables, et tels, que tous les rayons de chaleur émanés des premiers soient interceptés dans tous les sens, soit par les points à température invariable, soit par les autres. Les températures des points variables sont données à une certaine époque à partir de laquelle on comptera le temps ; et l'on de- mande ce qu'elles deviendront après un temps quelconque, tant par leurs actions mutuelles que par l'action des corps à températures fixes, qui peu- vent être considérés comme faisant le même effet qu'une enceinte continue, dans l'intérieur de laquelle il pourrait même y avoir des points à des tem- pératures fixes données. Nous admettons l'hypothèse ordinaire que deux points ayant des masses extrêmement petites \iA, (x2 , étautmis en présence l'un de l'autre avec des températures différentes *>,, v», pendant un temps infiniment petit///, le premier recevra du second une quantité de chaleur A (ea i>, ) dt, et le second recevra du premier la quantité A (i>, v,)dt

(3) égale et de signe contraire; A étant une constante dépendant des masses des molécules et de leur distance, mais non de leurs températures.

» Cela posé, un point ayant la masse [it recevra dans le temps dt, d'une petite masse ayant la température fixe ar une quantité de chaleur dont l'expression sera de la forme K [a v ) dt ; de sorte que ce qui lui viendra de l'ensemble des points à températures fixes pourra se représenter par Bdt Cvdt, B devenant nul avec les températures fixes : et ce qu'il recevra des autres points ayant les températures (?,,?,,... v„, aura une expression de la forme

P {va vt}dt ■+■ Q(i>3 i\)dt ... ■+• S (('„ vK)dt.

» La quantité totale de chaleur reçue est égale au produit de la masse \).{ du point par sa chaleur spécifique C, rapportée à l'unité de masse, et par l'accroissement dv de sa température pendant le temps dt ; ce qui, en repré- sentant C, fi, par m,, donnerait une équation de la forme suivante :

dp,

m.

1 dt

et on en aurait de même d'autres, donnant les expressions de 3*. . . ,—•

Et remarquons que la quantité de chaleur qu'une molécule reçoit d'une autre, étant égale, au signe près, à celle qu'elle lui donne, si une de ces équations renferme un terme H ( vp vq), une autre équation renfermera H {yq vp). Mais les termes analogues à B et C n'auront aucune liaison nécessaire dans les différentes équations, parce qu'ils dépendent des dis- tances respectives des points {/,,, u.2, . . . , aux points à températures fixes. » Si, suivant une notation souvent employée, on représente en général par (p, q) le coefficient de vq vp, on aura, d'après la remarque précé- dente,

En d'autres termes, si l'on prend deux équations de rangs /), q, le coefficient du terme qui renferme vq dans la première est égal et de signe semblable à celui qui renferme vp dans la seconde. Et cette propriété subsistera évidem- ment si l'on réunit tous les termes provenant des seconds termes des binô- mes qui, dans chaque équation, sont semblables entre eux : de sorte que le système des n équations différentielles qui doit déterminer les tempéra- tures des n points en fonction du temps, peut être écrit de la manière sui-

(4)

vante :

111,-^-sM,— N,t»1 + (i,a)»»,+ (i,3)i»,+ -+- {i,n)v„,

mn-£ = M„ N„c„+(7i, i)e, •+-(«, a)t>2+ -+-(«,« i)f„_,.

Ces équations déterminent les changements ou mouvements de température qui s'opèrent en chaque point, à partir de l'état initial donné.

» Elles renferment aussi l'état particulier d'équilibre de ces températures; c'est-à-dire l'état dans lequel chaque point émettrait constamment la même quantité de chaleur qu'il recevrait, et conserverait par conséquent la même

température. On aura les équations relatives à cet état en faisant -f- = o r

~ = o, . . ., -j- = o dans les équations (i) ; ce qui donne

!o = M, N,f, 4-(i,a)i>2-+-(i,3)p3 . .-h{i,n)va, o = M2 Nai>a-+-(a, i)vt -+- + (a,rc)e„, o = M„ N„t>„+(n, i)o, 4- + (n,n— i)p_,._

Ces n équations détermineront les températures *>,,... , va, dans l'état d'é- quilibre des points soumis à leurs actions mutuelles, et à celles de l'en- ceinte et de tous les points ayant des températures fixes données.

» Décomposition des températures en deux systèmes. On fera dispa- raître les termes connus M,, M2, . . . , M„ des équations (i), en posant

v, = u{ 4- w,, v2 = u2 -+- w2, . . ., vn = u„-\-w„,

et déterminant

w,, w>2,..., wn

par les conditions

o = M, N, w, 4- (i, a)n>2 4- . . . 4- (i, n) w„, o = M2 N2 w2 + (2, 1) w, 4- . . . 4- (a, n) wn,

» Les quantités w,, w2,, . . . , tv„, satisfaisant ainsi aux équations (a), sont donc les valeurs des températures dans l'état d'équilibre.

(5) » Les valeurs de u,, «,,. .., un satisferont, par suite, aux équations sui- vantes :

(3)

m, = N, u, + (i,a)w2 + (i,3)«3 + ... + {t,n)u„, m2 ~ = N, «a+ (2, i)u, ■+- + (a,n)«n,

m„ -J1' =-N„«„+ (n, i)«, + + {n,n— i)k„_,,

qui ne diffèrent des équations (1) que par la suppression des termes tout connus M,, . . ., M„. Or ces dernières quantités deviennent nulles en même temps que les températures fixes données. Les valeurs de ut, «2, . . ., u„ représentent donc les températures du système, dans l'hypothèse l'en- ceinte et les autres points invariables seraient à la température zéro, et les températures initiales du système seraient les valeurs initiales de u{, ua, . . . , u„ ou de v{ w„ . . . , vn w„, c'est-à-dire les excès des températures initiales données sur celles de l'état d'équilibre.

» Cette décomposition, connue depuis longtemps, ramène la question à deux autres plus simples.

» Mais on peut faire une infinité d'autres décompositions qui sont utiles dans diverses circonstances. En se rappelant que les quantités M,, Ma, . . . , M„ se composent de termes qui renferment au premier degré seulement les températures fixes, on reconnaît immédiatement que, si l'on décompose ces dernières en un nombre quelconque de systèmes, et qu'on cherche les valeurs de v,, v2, . . ., vn qui y correspondent respectivement, la somme de tous ces systèmes de valeurs satisfait aux équations (1) et forme, par con- séquent, la solution de la question proposée, pourvu que la superposition des états initiaux corespondants à ces questions partielles recompose l'état initial proposé.

» Décomposition d' un état quelconque en états simples. Un état simple est celui les températures de tous les points varient en conservant entre elles des rapports constants. Cherchons tous les états simples possibles du système précédent, l'enceinte et les points à températures fixes sont à zéro. Dans l'un quelconque d'entre eux, les rapports de toutes les tempéra- tures à l'une d'elles, u, par exemple, devanï être constants, nous poserons»

ua—aaut, u3,= a3w,,..., u„ anu,.,

(6) les n ! lettres <z2, a3,..., a„ désignant des constantes indéterminées. Les équations ( 3) deviennent alors

mt~ =[— N, 4-(i, 2)<z3+(i, 3) a, -4-(i, Ti)u„]rt,,

'"2a2 -^ = [— Naa24-(2, i)+(a, 3)a3 -+- (2,«)a„]«,,

' ?n3a3 ^ = [— N,a,4-(3, i)+ (3, 2)a2 4- (3, n) «„]«,,

mn*n-^ = [-N„a/!-+-(n,i)4-(«,2)a2+(n,3)as...+(«,n-i)an_)]w).

Pour que toutes ces équations s'accordent, il faudra que l'on ait, en dési- gnant par 772, X le coefficient u, dans la première,

N, 4- (i, 2)a24- (i, 3)a3 4- (i, n)an= m,?.,

N2aa4- (2, i) + (2, 3)a3 4- (2, n)an— m2a2X,

-N3a34- (3, 1)4- (3, 2)aa 4- (3, rc)a„ = 7/j9a3 l,

N»a«-+- ("> 0 -+-("» a)«s.- 4-(n, n i)a„_, = m„aal,

ou, en réunissant les termes semblables,

mtl— N, 4- (1, 2)a2+ (1, 3)a3 4- ( 1, n)an= o,

(2, 1) 4- (77J2X Na)aa4- (2, 3)a3... 4- (2, n)a„ = o, (6) { (3, 1) 4- (3, 2)aa4-(/7ï3X N3ja3...4-(3, «)a„=o,

(n, 1) 4- [ni 2)a24- (/», 3)a3 4- (mnl N„)a„ = o.

» D'après la théorie des équations du premier degré, les valeurs de a2, a3,..., an tirées des 72 1 dernières équations, auront un dénominateur commun X entrera au degré n 1 , tandis qu'il n'entrera qu'au degré n 2 dans les numérateurs. Reportant ces valeurs dans la première équa- tion (6), on aura une équation <p(X) = o qui renfermera l'inconnue unique X au « degré, quand on aura chassé les dénominateurs ; et le coefficient de X" sera m, 7?za . . . m„, qui ne peut jamais être nul.

» Ainsi les équations (6) donnent n valeurs pour X, et à chacune d'elles correspond un système unique de valeurs pour ec2, «3,..., a„.

» La première des équations (4) n'est autre chose que

du, »

(7) qui a pour intégrale, en désignant par C une constante arbitraire,

et les températures de tous les points dans un état simple quelconque, seront données par les équations suivantes :

(7) «, = Ce~;', «2 = Ca2e-i',. ut = Caie-)t,..., un = Ca„e-Xt.

Tous les états simples se déduiront des équations (7) en mettant pour X les n valeurs dont elle est susceptible, tant dans l'exponentielle que dans les coefficients aa,..., an.

Propriété importante des états simples.

» Soient X,, X, deux racines différentes quelconques de l'équation ç>(X) = o; les équations (7) donneront deux états simples correspondants 6V, m'2,..., u'n et u\, w'j,..., u"n satisfaisant chacun aux équations (3).

En observant que

du, » 1 du7 . , dun . ,

dt— "»"■«' * . "'"V <fc

_ = -X2a1, _ = _X2M2,.--, -j.

il est facile de voir qu'on aura les deux systèmes suivants :

m{X,ut = N, ùi + (1, 2) §L ■+■ (1, 3) m3... + (1, n)un,

m.X, z/2 = N2tt'a 4- (2, i) z/t + . . . -+- (2, n)un,

et

m„X, w'„ = N„m'„ + (re, i)tt'i -f- . . . -t- (rc, n i)wâ_„

m{ X2«", ~ N4 «', •+• (1, 2)w'2 •+-... H- (1 , n) u"n,

m2X2«2 = N2w"2 -+■ (2, i)«i ■+- . . . •+- {2, «)«'',,

>— m^ui = N„m" + («, 0ai -+-•••+{«," 1) ««-i-

Multiplions respectivement les équations du premier système par ii\ , u\, . ..., ul et ajoutons-les, puis multiplions celles du second respectivement par ut , i/2, tL,..., un, et ajoutons-les entre elles : il est facile de reconnaître que les seconds membres obtenus par ces deux additions seront les mêmes. » En effet, on voit d'abord que les premiers termes seront identiquement

(8) les mêmes de part et d'autre, puisque les coefficients N,, N2,..., N„ sont les mêmes et multiplieront les mêmes quantités «', u\ , ù2 u\ , . . . , u'n un .

» Passons maintenant aux autres termes, et prenons l'expression géné- rale «p ûr Elle aura pour coefficient dans le premier système (q, p), et dans le second (p, q). Or

(?> P) (/>> q)-

Donc les sommes des seconds membres sont égales. Il en est donc de même des sommes des premiers, et l'on aura par conséquent

(X, X2 ) (m, ut u\ -f- m2 u2 «"2+... + m„ un un) = o.

Donc, si l'on a pris les deux racines X,, X2 différentes, on devra avoir

(8) m, u\ u\ -t- m2 ù2 u"2 ■+■... ■+- m„ «'„ u"n, = o.

» Ainsi, à une époque quelconque , si l'on multiplie la masse d'un point quelconque par les valeurs correspondantes des températures de ce point considéré dans deux états simples , commençant ou non ensemble dans deux systèmes de points identiques } les sommes des produits seront constamment nulles.

» On peut exprimer la même propriété en supprimant de l'équation (8) le facteur exponentiel, et on lui donne la forme suivante :

(9) m, + m2 d2 a2 + m3 a3 a3 -+-... -+- mn a'„ an = o.

Ce théorème avait été démontré par moi dans un Mémoire présenté à l'A- cadémie des Sciences en i83o, mais seulement dans le cas d'un corps con- tinu, et en faisant usage de l'équation à la surface qui n'est pas, comme on lésait, d'une aussi grande exactitude que l'équation indéfinie. La démons- tration que nous venons d'en donner n'étant fondée que sur le principe même qui sert de base à la théorie, n'est sujette à aucune difficulté; et la proposition indépendante du nombre des points et de leurs distances res- pectives est vraie dans le cas ces points constituent ce que nous appelons un corps solide quelconque , même non homogène. En l'appliquant au mou- vement de la chaleur dans un cylindre, traité par Fourier, on obtient immé- diatement l'équation

£

uu' xdx = o, à laquelle il n'est parvenu que par de longs détours d'analyse.

(9)

L'équation ip().) = o a toutes ses racines réelles, positives et inégales.

» i°. Nous commencerons par démontrer que l'équation

?(X) = o

ne peut avoir de racines imaginaires.

» En effet, d'après la théorie générale des équations algébriques, si toutes ses racines n'étaient pas réelles, celles qui ne le seraient pas seraient conju- guées deux à deux et de la forme

a ± b y/— i.

Désignons ces deux racines par X,, X2; les valeurs des coefficients <z2,..., a„ relatives à X, et X2 ne différeront respectivement que par le signe de yj— 1, de sorte que si l'on a

a'2 = A2 + B2 V— i,..., a'„ = A„ + B„\j— i, on aura

= A2 Ba sj— i,..., a" = A„ B„V— i,

et, par suite,

a'2 a2 = A* -+- B* ,... , a'„ a" = A* + B^,

et l'équation (9) qui doit subsister puisqu'on n'a pas X, X2 = o, serait impossible, comme composée de termes tous positifs. D'où il suit que l'é- quation

9 (X) = o

ne peut avoir de racines imaginaires.

» 20. On reconnaît facilement qu'aucune de ces racines ne peut être né- gative; car l'exponentielle ex~l deviendrait infinie avec t, si X était négatif. Ainsi, dans l'état simple correspondant, les températures croîtraient indé- finiment avec le temps, ce qui ne peut avoir lieu dans une enceinte à température fixe. Il est évident, en effet, que la température la plus élevée dans le système ne peut que s'abaisser, si elle est supérieure à toutes celles de l'enceinte ; et si elle est inférieure à la plus élevée de l'enceinte, elle ne pourra jamais la dépasser. Ainsi les racines de l'équation sont toutes réelles et positives.

» 3°. Il reste à s'assurer que, pour aucune valeur particulière des coef-

C. R., i856, 2m» Semestre. (T. XLIII, 1.) 2

( io) ficients, il ne peut y en avoir d'égales; et cela est de la plus grande impor- tance, car s'il en était autrement, les états simples ne suffiraient pas pour la formation de l'état le plus général.

» Remarquons maintenant que, quoique la fonction algébrique <p (X) ne soit pas entière, il est toujours nécessaire pour que l'équation

?(X) = o ait des racines égales, que l'on ait pour ces valeurs

?'(X) =o.

» Or, comme nous l'avons déjà dit, la fonction ç(X) n'est autre chose que le premier membre de la première des équations (6) dans lequel on substituerait à a2, <z3, . . . , a„ les valeurs tirées des n i dernières. On aura donc ç'(X) en différentiant toutes les équations (5), et reportant dans

la première les valeurs de -^~> -^> •> -rr tirées des n i autres. On ob-

1 d\ d\ dk

tient par ces différentiations le système suivant :

, . _. . da.2 , 0. rfa3 , ,. dxt , . da„

m2ai-h(mil-m2)1fï +(2, 3)-^ + (2,4) ^ -+-... + (a,n) ^ =0, ,„3as + (3,2)^ + (m3X + N3)^ + (3,4)^+...+ (3,rc)^"==o,

m„an + (/î,a)^ + («,3)^ + («,4)^+...+ (m„X-N„)^-" = o.

» Si maintenant on multiplie les n 1 dernières respectivement par a2, a.,, . . . , a„, et qu'on les ajoute à la première, les coefficients des diverses

quantités -vr»* •■> -~ seront séparément nuls en vertu des équations (6), et

il restera

(10) <P'(M = m\ -*- "*aa2 + »'ja3 +•••-+- mnaft,

expression dans laquelle il faut toujours regarder a2, . . . , an comme les fonctions de X qu'on tirerait des n 1 dernières équations (6). Mais leurs valeurs sont nécessairement réelles, puisque toutes celles de X le sont, et

( II )

que fla,.. ., an n'entrent qu'au premier degré dans les équations (6); et l'on peut même remarquer qu'elles ne pourraient être toutes nulles, puis- qu'il faudrait supposer que tous les coefficients (2, 1), (3, 1),. ..,(«, 1) le fussent aussi. Le second membre de l'équation (10) est donc composé de termes essentiellement positifs et qui ne peuvent jamais se réduire tous à zéro. Donc <p' (X) est toujours positif et ne peut être zéro. Donc l'équation y (X) = o ne peut jamais avoir de racines égales, et par conséquent il y a toujours n états simples différents.

» Remarque. Si l'on chassait le dénominateur de l'équation <p (X) = o, sa dérivée changerait non-seulement de forme, mais encore de racines. Ainsi, en désignant par F (X) =0, ce que devient ainsi l'équation q>(X) •= o, F'(X) et <p'(X) seront très-différents, et n'auront, en général, de racines com- munes que celles qui seraient multiples dans ç> (X) = o. Les théorèmes dé- montrés sur F' (X) =one subsistent plus sur <p' (X) = o. Ainsi, par exemple, si y (X) = o a toutes ses racines réelles et inégales, f'(X) n'a pas pour cela toutes ses racines réelles et comprises chacune entre deux consécutives de la première; elle peut même n'avoir aucune racine réelle.. C'est précisément ce qui arrive dans la question qui vient de nous occuper; et c'est pour cela que la forme que nous avons prise pour l'équation qui donne les valeurs de X, s'est trouvée si commode pour démontrer l'impossibilité de l'existence de racines égales.

» Intégrales générales des équations (3). La somme d'intégrales par- ticulières de ces équations en formant encore une solution, si l'on désigne par X,, X2,..., X„ les n racines de l'équation y (X) = o, la solution générale du système (3) sera donnée par les équations

«( = C,e-V +C2e-V +C3e~V + . . . -+- C„e-^\ u, = C(a'2e-V + C2«;e- V+ C3a';e- V + . . . + c„ac2n)e-;-', (1 1) { u3 = C, K'JrV+C2a;rV+Cîa>-V+. . . + Cna.fe~^',

un=Ct a'ne-V + Ca a*ne-V+ Ctamner-*. '+... + C,a':»r^,

en désignant généralement par dp, up,. .., ap les résultats donnés par la substitution des diverses racines X,, Xa,..., X„ dans l'expression générale a ; et C(, C2,..., C„ étant des constantes arbitraires.

» Si l'on fait t = o dans ces équations, et que l'on désigne en général par «° la valeur initiale de up, on aura, pour déterminer les constantes, les

a..

( 12 )

n équations suivantes :

<= c,

-4 c, + c3+..

+ C„,

«^ = a'2C,

+ a2 C2 + a2 C3 + . .

+ <)c„,

Un '- CCn \_*4

+ a"3 C2 + a, C3 + . .

+ «#.Qm

(la)

«n° = a'C, + a:C2 + a': C3 +. . . + a^ C„.

» L'équation (9) donne un moyen simple de déterminer successivement chacune de ces constantes par l'élimination immédiate de toutes les autres. Ainsi, par exemple, pour avoir la valeur de l'inconnue C,, on multipliera la première des équations (12) par m,, la seconde par «22a'2, la troisième par maa3i..., la n'eme par m„d„, et on les ajoutera; les coefficients de toutes les inconnues Ca, C3,. . ., C„ seront zéro en vertu de l'équation (9), et il ne restera que l'inconnue C, dont la valeur sera

r _ m, u\ ■+-m,a.',u°t+. . . ■+- mn a'„ u'n *~ m, + m2a",-h. . . + m„a.'n7

que nous écrivons ainsi, en entendant que a', = 1,

_lma' u"

et l'on aura de même

_, _ S m a" u" p _ 2 m a<") u'

^"îW'7''"' ^"— Xm (a<»>)'"

» Les constantes C,, C2, . . ., C„ étant ainsi déterminées, les équations (1 1) donnent la solution complète de la question.

» Remarque. Les valeurs de u,,ua,..., u„ données par les équations (1 1) tendant vers zéro à mesure que le temps augmente indéfiniment, comme on pouvait le prévoir d'après les expériences du refroidissement dans une en- ceinte à température fixe, il suit d'une proposition démontrée précédem- ment que les températures relatives à la question proposée ont pour valeurs limites ou finales les températures relatives à l'état d'équilibre sous l'influence de l'enceinte donnée et des points donnés avec des températures fixes.

Cas particulier.

» Si le système était entièrement isolé, et que ses points ne perdissent ou ne reçussent de chaleur que par leurs actions mutuelles, les quantités M, , M2, . . . ,M„ seraient nulles ainsi que les parties N, , N2, . . . , N„ qui pro-

( I*)

viennent de l'enceinte, de sorte que les équations (t) seraient de la forme 5 = (i,a)(>2- ?,) + ('» 3) ("• - v,). . .+ (i,n)(t>„- Pt).

Faisant la somme de ces n équations, les seconds membres se détruiraient, et l'on obtiendrait

«„+«++) =so ou jj-V^+'i-.I+^-i-C.

at

De sorte que la température moyenne serait constante, comme on pouvait le prévoir facilement.

» Dans cette même hypothèse, les équations (2) relatives à l'équilibre se réduisent à

o = (i,2)(o2- v,) -4-(i,3)0, vt)+. . .+ (i,n) {vm V>,y, 0 = (2, i)(\>, —vt) -+-(2, 3)(e, !»,)+. •+ (a,«)("n-"a)-

» Or toutes ces différences peuvent se ramener à des différences avec v, , par exemple, puisqu'on a en général

et ces n équations sont réductibles à n 1 , puisque l'une d'elles peut être remplacée par leur somme, qui est une équation identique. On aura donc n 1 équations du premier degré entre les « 1 inconnues v2 v, , ^3 *fi > ., vn vu et les termes indépendants de ces inconnues se- ront tous nids. Donc les valeurs de ces inconnues sont toutes zéro, et toutes les températures dans l'état d'équilibre sont égales entre elles, et par conséquent à la moyenne des températures initiales. »

analyse mathématique. Sur les fonctions monodromes et monogènes ;

par M. Augustin Cauchv. « Soient

z = rp, x = Xq

les affixes de deux points mobiles, et

Z, 3

les valeurs correspondantes d'une certaine fonction. Si cette fonction reste monodrome et monogène pour toute valeur de r inférieure à une valeur

( i4)

donnée et constante du module r, on aura, pour une telle valeur de r,

i

%

la moyenne isotropique qu'indique le signe 31^ étant relative à l'argument q de %. En développant dans la formule (i) le rapport

z I

suivant les puissances ascendantes de z, on obtiendra le développement de Z suivant les mêmes puissances. Dans ce développement, la somme des n premiers termes sera une fonction entière de z, du degré n, et si l'on désigne cette somme par sn , on aura

(2) Z=Sn + Zn+' 3IL?~'

z

%

Si, dans la formule (a), on fait croître indéfiniment le nombre /?, alors %,-"-' convergera vers la limite zéro, et en posant

n = 00 , on obtiendra l'équation

(3) Z=:S„

qui sera précisément la formule de Taylor; et cette équation subsistera quel que soit z, si Z reste finie, monodrome et monogène pour toute valeur finie de z. Si, de plus, Z conserve une valeur finie pour une valeur infinie

de z, par conséquent pour une valeur infiniment petite de-, ou si, - étant infiniment petit du premier ordre, - est un infiniment petit d'un

ordre fini v, alors pour réduire à zéro le produit z~n~* 3, et, par suite, la la moyenne isotropique

Dît =-,

z 1

%

il ne sera plus nécessaire de faire converger n vers la limite 00 , il suffira de

( i5) faire converger le module r de z vers la limite oo , et de prendre

n = ou > v.

Sous cette condition, la formule (2) donnera

(4) Z = sn.

Donc alors la fonction Z sera une fonction entière de z du degré n.

» Il est bon d'observer que, dans l'hypothèse admise, le nombre v qui

représente l'ordre de —■> quand - est supposé infiniment petit du premier

ordre, ne peut différer du nombre entier n qui représente le degré de Z, en sorte qu'on a nécessairement

y = n. » Si Z conservait une valeur finie pour une valeur infinie de z, on aurait

v = n = o, et l'équation (4) réduite à

(5) Z = s0

donneraitpour Z une valeur constante. L'équation (5), comprise comme cas particulier dans une formule générale du calcul des résidus, reproduit un théorème énoncé par M. Liouville.

» Supposons maintenant que la fonction Z, toujours monodrome et mo- nogène pour une valeur finie z, devienne infinie pour certaines valeurs de la variable particulière, et nommons c l'une quelconque de ces valeurs. Le

rapport - deviendra infiniment petit, si c est fini, pour une valeur infiniment

petite de z c, et si c est infini, pour une valeur infiniment petite de

-• Admettons que, dans l'une ou l'autre hypothèse, z c ou - étant

infiniment petit du premier ordre, y soit un infiniment petit d'un ordre fini

a ou v, et que le nombre des valeurs finies de c soit encore un nombre fini. Enfin soient

c', c",..., C$

( 16 ) les valeurs finies de c,

M-', -, fi les valeurs correspondantes de fi,

m', m",..., m"» des entiers supérieurs aux nombres

et posons

(6) % = (z - c')"1' (z - c")m"... (1 - c">)m</) Z,

& sera évidemment une fonction monodrome et inonogène qui, toujours finie pour une valeur finie de z, fournira pour - une quantité infiniment petite dont l'ordre sera la quantité finie

(7) m' ■+■ m" -K..+ m

W

v,

quand - sera du premier ordre. Donc 2> sera, en vertu des propositions

déjà démontrées, une fonction entière de z. Cela posé, l'équation (6) four- nira évidemment pour Z une fonction rationnelle, et

,,' n" m'" m(1

ne pourront être que des nombres entiers. Ajoutons que l'équation (8) con- tinuera de fournir pour % une fonction entière de Z, si l'on prend pour

m<"

ces mêmes nombres entiers; et que si, pour une valeur infinie de z, Z con- servait une valeur finie différente de zéro, ou devenait infiniment petit, on devrait, dans la somme (7), réduire v à zéro, ou lui attribuer une valeur né-

gative.

» On peut donc énoncer généralement la proposition suivante : » Théorème I. Si une fonction Z de z, toujours monodrome et mo- nogène pour une valeur finie de z, devient infinie pour un nombre fini de

valeurs de z; si, d'ailleurs, c étant l'une de ces valeurs, le rapport - est une quantité infiniment petite d'un ordre fini [x, ou v, quand on considère la différence z c, c étant fini, ou le rapport - , c étant infini, comme un in- finiment petit du premier ordre, alors [i, v seront toujours des nombres en.-

( H ) tiers, etZ sera une fonction rationnelle de z, à laquelle on pourra donner pour dénominateur le produit des facteurs de la forme

{z-cf.

» Les conditions ici mentionnées seront évidemment remplies, si Z est une fonction monodrome et monogène qui vérifie une équation de la forme

(8) F(z,Z) = o,

F(z, Z) étant une fonction entière de z et Z. Alors le théorème I ne sera pas distinct du beau théorème énoncé par M. Puiseux dans le Mémoire qui a pour titre : Nouvelles recherches sur les fonctions algébriques . » D'autre part, on établira sans peine la proposition suivante : » Théorème II. Nommons Z une fonction de z, qui, étant toujours mo- nodrome et monogène pour une valeur finie de z, soit simplement périodi- que et demeure invariable , tandis que l'on fait croître z de la période m, Si l'on pose

(9) u e~« la valeur de I étant

I = 27ri,

Z considéré comme fonction de u sera encore monodrome et monogène pour toute valeur finie de u. Démonstration. Soit en effet

(10) Z = f(z),

et substituons, dans la formule (12), à la variable z sa valeur

ta r

z=~\u,

1 m désignant un logarithme népérien assujetti à varier avec u par degrés in- sensibles. On aura

V

il) Z = fhïu\.

Or, lu étant monodrome et monogène dans le voisinage de toute valeur finie de «, autre que la valeur zéro, on pourra en dire autant de Z; et, si l'on fait décrire autour du pôle une courbe fermée au point dont l'affixe est u, le produit

-lu,

C. R., 1836, 3™e Semestre. (T. \UU, 1.) 3

( -8) après une ou plusieurs révolutions du point, effectuées dans un sens on dans un autre sur la courbe dont il s'agit, se trouvera augmenté ou diminué d'un multiple de la période w, par conséquent Z ne changera pas de va- leur, et l'on pourra en dire autant de la dérivée

D„Z = J-lD.Z.

>> Du théorème Ier joint au théorème TI, on déduit immédiatement la proposition suivante:

» Théorème III. Soit Z une fonction de z, simplement périodique, représentons la période w par un rayon mené d'un point donné à un autre point dans la direction qu'indique l'argument de cette période, et par les extrémités de ce rayon menons deux droites parallèles l'une à l'autre. Si la fonction Z, toujours monodrome et monogène pour une valeur finie de z, devient infinie pour un nombre fini de valeurs de z propres à représenter les affixes de points situés entre les deux parallèles, si d'ailleurs, c étant l'une de ces valeurs, et h la valeur correspondante de l'exponentielle

z

u = e" ' le rapport - est une quantité infiniment petite d'un ordre fini p. ou v, quand

on considère la différence u h, h. étant fini, ou le rapport // étant in- fini, comme un infiniment petit du premier ordre, alors [x, v seront toujours des nombres entiers, et Z sera une fonction rationnelle de « à laquelle on pourra donner pour dénominateur le produit des facteurs de la forme

' (u-hf.

» Si, en nommant u la période de la variable z dans la fonction pério- dique Z, supposée monodrome et monogène pour toute valeur finie de z, on substituait à l'équation (9) la suivante

(11) u = cos ->

Z, considéré comme fonction de u, pourrait cesser d'être monodrome et monogène pour toute valeur finie de u. Mais il serait fonction monodrome et monogène de u et v si l'on supposait

(12) u = cos -•> v = sin ->

( 19 )

attendu

qu'

on

aurait alors

(i3)

z ■■

= jï(u + vi),

04)

Z =

■f[jï(u+t>ï

et qu'on pourrait appliquer à la formule (12) ce qui a été dit de la for- mule (11). Remarquons d'ailleurs qu'en vertu des formules (ia) on aurait

h2 + i>* = 1 ,

1 (u + v i) + 1 (u pi) = o, par conséquent,

ï(w+l,i)=iï(^4V

* ' 2 \U Cl/

et que : est simplement fonction de

^ U-—V1 1

V z

- = tane -■

On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

» Théorème IV. Une fonction Z de z, supposée monodrome, mono- gène et simplement périodique , sera encore une fonction monodrome et monogène des deux variables

z . z

m = cos-> p = sm->

U

et de leur rapport; elle en sera même une fonction rationnelle sous les conditions énoncées dans le théorème III.

» Un théorème semblable s'applique, sous de semblables conditions, aux fonctions doublement périodiques.

» D'ailleurs les conditions dont il s'agit sont remplies quand la fonction Z se réduit à l'intégrale u de l'équation

(i5) Y)zu=U,

U étant déterminé par la formule

(16) . F(«, 17)4 i?

dans lesquelles F (m, U) désigne une fonction entière de m et U, et, par suite, les derniers théorèmes ici énoncés et mentionnés ne sont pas distincts

3..

(20) de ceux qui ont été donnés par MM. Rriot et Bouquet dans leur important travail sur l'intégration des équations différentielles.

» Dans un autre article, je montrerai comment on. peut intégrer à l'aide de fonctions monodromes et monogènes des systèmes d'équations simulta- nées et résoudre ainsi complètement certains problèmes de mécanique et d'astronomie. »

galvanoplastie. Sur le procédé imaginé par M. George, graveur au Dépôt de la Guerre, pour opérer des changements sur une planche de cuivre gravée. Note de M. le Maréchal Vaïllant.

« Tout le monde sait, mais un peu vaguement, que la gravure sur cuivre marche avec beaucoup de lenteur et que les corrections y sont non-seule- ment très-difficiles, mais encore dangereuses pour l'œuvre d'art à retoucher.

» C'est surtout dans le travail de la Carte topographique de la France que ces inconvénients se révèlent avec toute leur gravité.

» En effet, avant qu'une feuille levée au 4-ôiôT Pmsse être mise entre les mains des artistes qui doivent la graver au 8 0 0 p , il faut au moins deux ans de travaux préparatoires ( réductions et dessins) ; le travail seul des graveurs exige de cinq à huit ans et coûte de 12000 à 20000 francs. Ainsi, quand, à grands frais, la planche est terminée, il s'est écoulé, depuis les derniers tra- vaux sur le terrain, un intervalle de sept à dix ans, bien souvent davantage.

» Cependant l'objet à représenter n'est point invariable comme un ta- bleau; les efforts de l'industrie, les rectifications de routes, les ouvertures de voies ferrées, les creusements de canaux, les modifications administra- tives, amènent des transformations continuelles, que la carte doit reproduire, sous peine d'être surannée et hors d'usage le jour même elle est livrée au public.

» Ainsi des changements sont à faire aux planches de la Carte de France au moment elles paraissent, et, dans le temps d'activité nous vivons, des changements analogues seraient à la rigueur nécessaires d'année en année; on pourrait même dire plus souvent.

» Jusqu'ici ces mutations continuelles n'ont été exécutées qu'à regret, de loin en loin, et sous la pression d'une absolue nécessité. Désormais un moyen nouveau permettra d'y procéder sans retard, sans embarras, presque sans dépense. C'est à M. George, graveur au Dépôt de la Guerre, qu'est ce précieux procédé.

» Les corrections à une planche gravée s'effectuaient, il y a quelques mois encore, d'une seule manière : par le repoussage et la gravure.

( M )

» L'opération qu'on nomme repoussage s'exécute au moyen d'un mar- teau dont les chocs répétés doivent refouler le métal de manière à combler le vide laissé par le grattoir qui a enlevé le premier travail afin qu'un travail nouveau soit possible.

Sans entrer dans plus de détails, il est facile de faire sentir les princi- paux inconvénients de cette méthode.

» Le repoussage produit, sans qu'on y puisse remédier, une grande quan- tité de petites ondulations qui altèrent la surface. Il fait voiler les planches et leur laisse une courbure qui fait ressort à l'impression ; il altère les contours même à une distance très-sensible des parties effacées, et nul graveur, si habile qu'il soit, n'y peut remédier entièrement (les cadres de certaines feuilles ne sont plusrectilignes). Il donne aux planches une épaisseur inégale, ce qui rend le tirage pénible et précipite la destruction des parties qui n'ont pas été amincies. Enfin, cette action si destructive du marteau a encore pour effet de faire disparaître beaucoup plus de gravure qu'il ne serait nécessaire, et d'exiger par conséquent un long travail de reprise pour refaire ce qui était bon, avant d'atteindre les corrections proprement dites.

» Aussitôt qu'un atelier eut été établi au Dépôt de la Guerre pour repro- duire les planches de la Carte de France à l'aide de procédés galvanoplas- tiques, on eut la pensée d'appliquer ces procédés aux corrections. Comme il existe, entre la feuille mère et la feuille reproduite, une feuille intermédiaire, une sorte de contre-épreuve moulée en relief sur la première et sur laquelle se moule en creux la seconde, il était simple d'enlever, sur cette intermé- diaire, à l'aide d'un grattoir, tout ce qui ne devait pas reparaître dans la feuille reproduite; on obtenait ainsi, sur cette dernière, après l'opération terminée, une surface plane au lieu des parties gravées et à remplacer.

» C'était déjà un progrès; mais cette seconde méthode avait aussi ses in- convénients. D'abord la reproduction totale d'une feuille était nécessaire pour chaque correction nouvelle, et les planches, pour une même feuille, pouvaient se multiplier ainsi indéfiniment. Secondement, la reproduction totale exige un mois au moins de travail et coûte encore 3oo francs. Enfin, l'opérateur n'est jamais entièrement libre d'inquiétudes, tant seraient graves les conséquences d'un accident qui, en déterminant l'adhérence des surfaces, entraînerait la perte immédiate d'une planche représentant 20000 francs de dépense et douze ans de travail.

» En présence de ces difficultés, M. George eut l'heureuse idée d'arriver aux corrections sans intermédiaire en déposant du métal dans les tailles, de se faire un auxiliaire de l'adhérence si redoutée dans la reproduction

( *2 )

totale, et de réduire ainsi le cercle de l'opération au strict nécessaire en es- pace, en temps et en frais.

» Après quelques tâtonnements, voici comment il a réglé ses opérations :

» i°. Les parties à corriger sont recouvertes d'une légère couche de ver- nis ordinaire qui s'étend de quelques centimètres au delà de leur pourtour.

a°. Le vernis étant sec, on creuse, avec l'échoppe, les parties à modi- fier : ce peut être une certaine surface, s'il s'agit d'un bois, d'un village, d'un nom, etc. ; c'est un sillon plus ou moins large pour une route, un chemin, un cours d'eau. Il importe que pendant ce travail, l'outil soit toujours par- faitement propre et qu'il n'entraîne avec lui aucune parcelle de vernis ; car tout corps étranger, et surtout les substances grasses, nuisent à l'adhérence du dépôt.

» 3°. Sur la planche ainsi préparée on construit, avec de la cire à mo- deler, une sorte de cuvette entourant, sans le couvrir, l'espace qui a reçu le vernis, assez grande pour recevoir une certaine quantité de sulfate de cuivre en dissolution, et un petit élément galvanique. La planche est posée elle-même horizontalement sur quatre ou six supports isolants.

» 4°- L'élément galvanique est contenu dans un cylindre en terre po- reuse de om,o6 de diamètre sur om, i o à om, 1 1 de