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ANiailE CELESTE

F. TISSEUAM),

TOME I.

PERTDRBATIOHS DES PLANtTES D'APRllS LA HETHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES.

PAIUS.

ilAUTMlEU-VII.LAHS KT FILS, IMl'lUMKL'KS-UHIt MllliS

DU It U II F. A II l>ES LON UlTUDKS, I>K I. Ii C 0 1. 1 I< C) t. V T K ('. ri M Q r t ,

PREFACE.

Le Traite de Mccanique celeste, dont je public aujourd'hui la pre- miere Partie, a pour base les Lecons que j'ai faites a la Sorbonne depuis i883 comme suppleant, puis eomme successeur de M. V. Puiseux. Les Lecons de ce Maitre Eminent brillaient par une clarte incomparable, et c'esl un grand dommage pour la Science qu'elles n'aient jamais ^te publiees. Je suis heureux de les avoir suivies pen- dant plusieurs ann^es, et les Aleves de M. Puiseux en retrouveront des traces nombreuses dans mon Ouvrage.

Le Tome I comprend la th^orie generale des perturbations, fondee sur la methode de la variation des constantes arbitraires.

Dans le Tome II, je traiterai de la figure des corps celestes et de leurs mouvements de rotation.

Le Tome III sera consacre a la th^orie de la Lune, h. un abrege de la th^orie des satellites de Jupiter, a la methode de Hansen pour le calcul des perturbations des petites planetes et aux divers travaux qui ont enrichi le domaine de la Mecanique celeste dans ces dernieres annees.

Le present Volume est susceptible, je Tespere du moins, d'inte- resser les geometres et les astronomes. J'ai presente la methode de la variation des constantes arbitraires, on plutot son application a la Mecanique celeste, de deux facons diflFi^rentes, en me reportant aux travaux de Jacobi ou a ceux de Lagrange.

Cette methode n'oflre peut-etre pas toujours le moyen le plus rapide d'arriver au calcul des perturbations, notamment quand il s'agit des ast^roldes; cependant, au point de vue de I'enseignement, elle est d'une grande simplicite.

VI PREFACE.

Dii reste, elle a perinis a Le Verrier cl'(5difier ses theories des an- ciennes planetes. Les formiiles qui lui ont servi constamment dtins reiisemble imposant de ses recberches sont adaptees avec un rare talent aiix besoins de la pratique, et j'ai ju{?e utile de m'y eonfornier.

J'espere que les jeunes astronomes qui voudront etudier ce premier Volume n'eprouveront aueune peine a s'assimiler ensuite tons les details des theories de Le Wrrier, telles qu'elles ont ete publiees dans les Annalcs de VOhscrvatoire.

J'ai eru devoir eonsacrer un Chapitre a la decouverte de Neptune, qui a fourni la confirmation la plus eclatante de la theorie de la gravi- tation.

Bien que le Volume actuel traite surtout de Tapplieation de la me- thode de la variation des oonstantes arbitraires, j'y ai donne nond)re de resultats qui appartiennent aux methodes de Hansen, dont Texpo- sition dans le Tome III aura ete ainsi notablement facilitee.

II va sans dire que, si le lecteur pent, avec le Traite actuel, s'initier assez facilement aux details d'une science ardue, il ne sera pas dis- pense, s'il veut la penetrer plus profondement, de recourir an grand Trnit^ de Laplace, dont tons les Chapitres prdsentent encore aujour- d'hui aux astronomes les plus exercc^s des sujets varies de meditations f^condes.

Je dois adresser de vifs remerciements a MM. (Jauthier-Villars, qui ont apporte a Timpression des soins minutieux et auront contribue ainsi a faciliter la lecture de TOuvrage.

J'aiplaisiraremercier aussitoutparticulierement M. O. Callandreau, qui ne s'est pas borne a m'aider dans la revision des epreuves, mnis m'a donne souvent des conseils judicieux.

lo noveinbro i88S.

TABLE DES MATIERES

DU TOME I.

INTRODUCTION.

Pages.

Aquation g<^n6ralo do la Dynamique i

Principe d^Hamilton jl

Aquations de Lagrange 5

Forme canonique d*HamiIton 7

Th6or6me d'Hamilton 11

Th6or6me de Jacobi : i4

Cas ou la fonclion dos forces est ind6pcndanto du temps 18

Relations de Jacobi 20

CHAPITRE I.

Recherche de la force qui produit le mouvement eili[)lique des planetes 9.5

Probl6me inverse. — Trajectoiros r6sullant de la force centrale —^ '■^8

Loi de ia gravitation univorsolle 3 1

Orbites des 6toiles doubles 35

Recherche de la force qui produit les mouvements des 6toiles doubles 3G

Probl6me de M. Bertrand 43

Th6or6me de Newton 49

CHAPITRE II.

G6n6ralit6s sur Fatlractiou 5i

Potentiel 52

Aquation de Laplace 55

Attraction des couches 8ph6riques homog6nes 55

Attraction d*un corps sur un point 61oign6 59

CILVPITRE III.

Aquations difl^rentielles des mouvements absolus des planetes 64

Les dix int^grales connues 67

Aquations diffdrentielles des mouvements relatifs dos planetes autour du Soleii 70

Les quatro int^grales connues 72

T. - 1. b

VI PUEFACE.

Dii reste, elle a perinis a Le Verrier d'edifier ses theories des an- ciennes planetes. Les formiiles qui lui ont servi constamment dans Tensemble imposant de ses recherches sont adaptees avec iin rare talent anx besoins de la pratique, et j'ai juge utile de m'y eonfornier.

J'espere que les jeunes astronomes qui voudront etudier ce premier Volujne n'eprouveront aucune peine a s'assimiler ensuite tons les details des theories de Le Verrier, telles qu'elles ont ete publiees dans les Anmdes de I'Ohservatoire.

J'ai cru devoir consacrer un Chapitre a la decouverte de Neptune, qui a fourni la confirmation la plus cclatante de la theorie de la gravi- tation.

Bien que le Volume actuel traite surtout de rapplication de la me- thode de la variation des constantes arbitraires, j'y ai donne nombre de resultats qui appartiennent aux methodes de Hansen, dont I'expo- sition dans le Tome III aura ete ainsi notablement facilitee.

II va sans dire que, si le lecteur pent, avec le Traite actuel, s'initier assez facilement aux details d'une science ardue, il ne sera pas dis- pense, s'il vent la penetrer plus profond(5ment, de recourir an grand Trait^ de Laplace, dont tons les Chapitres prdsentent encore aujour- d'hui aux astronomes les plus exerces des sujets varices de meditations f^condes.

Je dois adresser de vifs remerciements a MM. (lauthier-Villars, qui ont apporte a Timpression des soins minutieux et auront contribue ainsi a faciliter la lecture de TOuvrage.

J'aiplaisiraremercier aussitoutparticulierement M. O. Callandreau, qui ne s'est pas borne Ji m'aider dans la revision des epreuves, mais m'a donne souvent des conseils judicieux.

lo novombre 1888.

TABLE DES MATIERES

DU TOME I.

INTRODUCTION.

Pages .

Aquation g<^n6raIo do la Dynamique i

Principe d'llamilton — a

Equations de Lagrange 5

Formo canonique d'Hamilton 7

Th6oreme d'Hamilton 11

Th6or6me de Jacobi 1 4

Cas ou la fonction des forces est ind6pendante du temps 18

Relations de Jacobi 20

CHAPITRE I.

Recherche de la force qui produit Ic mouvoment eiliplique des planetes '^5

Probl6me inverse. — Trajectoires r6sultant de la force cenlrale —J- 78

Loi de ia gravitation universelle 3 1

Orbites des 6toiles doubles 35

Recherche de la force qui produit les mouvements des ^toilos doubles 3G

Probl^me de M. Bertrand 43

Th6orfeme do Newton 49

CHAPITRE II.

G6n6ralitds sur Tattraction 5i

Potentiel 62

Equation de Laplace 55

Attraction des couches sph6riques homogenes 55

Attraction d*un corps sur un point 61oign6 59

CHAPITRE in.

Equations dif{4rentielles des mouvements absolus des plan6tes 64

Les dix int6grales connues 67

Equations diff^rentielles des mouvements relatifs des planetes autour du Soleil 70

Les quatro iut6grales connues 72

T. - I. b

VIII TABLE DES MATlfeRES.

CIIAPITRE IV.

Page*.

Forme sym^triqiic dcs 6(iuations difT^ronticlIos des mouvements relatifs des plan^les autour du

Soloil 77

Los (|uatro inl6grale8 conniies 85

CILAPITRE V.

ftquations diffcrentiolles des mouvements avoc les coordonn^es polaircs 87

Formes divorses do ces C(iaalion3 90

CHAPITRE VL

Equations difTorentielles du probl^mo des deux corps 93

Int^gralcs premieres 95

Determination de I'orbite 97

Caicul de la position dans I'orbite. Equation de Kepler 100

Calcul de la position h61iocentri(iuc. £l6ments du mouvement elliptique lo {

Formulcs du mouvement elliptuiue 1 07

Maximum de r6quation du centre 109

Mouvement paraboliquo des comctes no

Th6or6me d'Euler 11-2

Mouvement hyperbolique 1 1 1

Determination des 616ment8 du mouvement elliptique 1 iG

Determination des 6I6ments du mouvement parabolique 1 'j>o

Hodographe rii

CHAPITRE VII.

Integration dcs ecjuations difforcntielles du mouvement elliptique par la methode de Jacob! i!23

Elements canoniques<

i>.7

CHAPITRE VIII.

Recherches de Lagrange sur le probieme des trois corps 128

Cas particuliers remarquables 1 47

CIUPITRE IX.

Methode de la variation des constantes arbitraircs. — Variation des elements canoniques. Leurs

derivees 1 59

Elements osculateurs 166

Derivees des elements elliptiques 169

Transformation utile do quatre do ces elements 170

CHAPITRE X.

Variation des constantes arbitraires. Methode de Lagrange 1 73

CHAPITRE XI.

Considerations generates sur les perturbations planetaires 189

Perturbations des divers ordres .... 195

TABLE DES MATlilRES. IX

Pared.

Perturbations du premier ordre igG

Inegalit^s p6riodiques . 197

In^galit^s s6culaires 198

In6galit6s k longues periodos. . . 199

Perturbations du second ordre 'uri

CIIAPITRE Xll.

Fonctions de fiessel. — Leurs propri^tes principalcs tioft

CHAPITHE Xlll.

Applications des fonctions de Bessei au mouvement elliptique ai >

Developpements divers qui so rattachent au mouvement elliptique 2*22

CHAPITHE XIV.

Tli^oreme de Cauchy 228

Nombres de Cauchy 234

(r X"* 1 j 237

(?)

m

» 0 de ( - ) 239

0 » de r^quation du centre 242

0 » de certaines fonctions des coordonn^es d'une plandte 245

CHAPITRE XV.

(r\n / r \ «

- j sinm(i' et I - ) cosmw. . . . 249

CHAPITRE XVI.

Convergence des series du mouvement elliptique 2G2

Apergu de la demonstration de Laplace pour trouver la limite de Texcentricitd 266

CHAPITRE XVII.

Propri6t6s di versos des fonctions de a qui repr^seutent les coefficients des cosinus des multiples de ^ dans le d6veloppement de I'expression (i -+- a«— 2a cos<j^ ) -*. - - M^tiiodes diverses pour ie calcul de ces fonctions ot do leurs d6riv6es 270

CHAPITRE XVUI.

D6veIoppement de la fonction perturbatrice dans lo cas ou les excentricit6s et les inclinaisons mutuelles des orbites sent peu considerables. — Ordres des divers termes du d6veloppement. 292

CHAPITRE XLX. Transformation des d6riv6es des elements elliptiques 32 1

CHAPITRE XX. Formoles de Le Verrier donnant les perturbations du premier ordre des Elements elliptiques 33o

X TABLE DES MATlfeRES.

CHAPITRE XXI. Perlurbations du premier ordre dos coordonn6es h61iocentriques SOo

CHAPITRE XXII.

Premiers termes dos perturbations p6riodiques des coordonn^es h^liocontriques Sjcj

CHAPITRE XXIII.

D6couverte de Neptune 374

CHAPITRE XXIV.

Perturbations du second ordre par rapport aux masses 387

CILVPITRE XXV.

Theoreme de Poisson sur rinvariabilit6 des grands axes dans la deuxidme approximation par rap- port aux masses 391

CHAPITRE XXVI.

Expressions gdn^rales des in6galit6s sdculaires. — Travaux de Lagrange et de Laplace. — Formules numeriques de Le Verrier. — Indications sur les expressions g6n6rales des coordonn^es dans . le probleme des trois corps 404

CHAPITRE XXVH. Mdtbode de Gauss pour le calcul des in^galit6s s6culaires. Exposition de M. Halphen 43 1

CHAPITRE XXVIU.

D6veloppement de la fonction perturbatrice lorsquo Tinclinaison mutuelle des orbites est consi- derable 443

CHAPITRE XXIX. Transformation de Hansen pour les Equations difr6rentielles du mouvemont des plan6tes 46>

FIN DE LA TABLE DES UATIERES DU TOME I.

TRAITfi

DE

MECANIQUE CELESTE.

TOME 1.

INTRODUCTION.

1. Equation gtoirale de la Dynamique. — En combinant le principe de d'AIembert avec celui des vitesses virtuelles, Lagrange a pu condenser en une seule equation symbolique les equations du mouvement d'un systeme quel- conque de points materiels soumis tons, ou quelques-uns seulement, a des forces donn^es.

Cette equation est

OU encore

(')

l'-{^^--^'^^y^w*^')=l^''^-'-^'^^^-^^^'^-

x^ y^ z designent les coordonnees rectangulaires d'un point quelconque du systeme; m sa masse; X, Y, Z les composantes paralleles aux axes de la resul- tante des forces directement appliquees a ce point. Cette equation (i) doit avoir lieu pour tons les systemes de valeurs des variations infiniment petites %x^ ^y^ ^^y • • • des coordonnees x^ y^ z^ ... compatibles avec les liaisons du sys- teme; dans cette meme equation, le 2] ^^ premier membre s'etend a tons les

points du systeme, et celui du second seulement a ceux de ces points auxquels

des forces sont appliquees.

T. - 1. I

2 INTRODUCTION.

Les liaisons seront representees par un certain nombre d'equations, tellesque

/(^ ^fff -; ^'f ...) = o>

(a) { 9(^ ar,7, z; a:', ...)=:o,

Les variations So?, Sy, ... devront verifier les equations suivantes

dx dy ^

obtenues en differentiant les equations (2) par rapport a la caracteristique S sans faire varier le temps /.

On sait comment, en introduisant les facteurs indetermines de Lagrange, on tire de ce qui precede les equations differentielles du mouvement des divers points du systeme.

Nous allons transformer Tequation (i) de maniere a en deduire le principe d'Hamilton.

2. Principe d'Hamilton. — Soit, dans le systeme considere, n le nombre des points materiels et, par suite, 3/i le nombre des coordonnees a?, y, . . . ; si 3n — k designe le nombre des equations (2) de liaison, on pourra tirer de ces equations les valeurs de 3n — * coordonnees en fonction de / et des k autres qui pourront etre considerees comme des variables independantes; pour plus de symetrie, on pourra dire que, en partant des equations (2), il est possible d'ex- primer toutes les coordonnees en fonction de / et de ^ variables independantes q\f y2» •••» y*; on aura, par exemple,

Les variations infiniment petites S^i, ^q^, ..., ^qk pourront etre absolument quelconques; quant aux variations ^x, Sj, qui figurent dans Tequation (i), on les calculera ensuite par des equations analogues a la suivante

(3) 3^=_3^,+ _.3^,^...^._3^„

obtenues en differentiant Texpression de x par rapport a la caracteristique S sans faire varier le temps. Pour arriver au principe d'Hamilton, nous allons considerer les Iqi, qui

INTRODUCTION.

peuvent etre quelconques, comme des fonctions de /, fonctions arbitraires, mais infiniment petites; en partant de la, nous transformerons Tequation (i); les Sic, 8y, ... seront des fonctions de / determinees par les formules (3), et nous pourrons ecrire

d ( dx ^ \ dx dix

~di dt

d^x ^ d /dx ^ \

-y-- ox =1 -r { —r- 0^ I — dt* dt \ dt J

Pour une valeur donnee de /, quand on change a? en ar-h ^x, \\ en resulte dans

dti (V d T*

■-r- le ehangement 5-^; on aura done

dx d{x -\- 8x) dx

'dt ~" di Tit

ou bien

d dx ^ dx dt dt'

on en conclut

dx ddx dx ^dx , ;tf^^\^

dt 'TIT ~"dt 'dt"^ \dt) '

d^x

et Texpression de -t-^- 8x devient

/ /v ^^ ^ d ( dx ^ \ , ^ (dx\*

De cette equation et des equations analogues concernantj", z^x\ ..., on deduit

wi (d}x^ d*y ^ d^z ^ \

On voit s'introduire dans cette equation la demi-force vive du systeme; nous la representerons par T :

Si nous posons

(7) }^{\ SX H- Y dv H- ZOZ) r-r U',

mr-.

4 INTRODUCTION.

Tequation (i) donnera, en ayant 6garcl aux formules (5), (6) et (7),

Le second membre de cette equation ne contient plus rien qui se rapporte au

systeme de coordonnees employe, carT = - ^mv* n'en depend pas, et il en est

ainsi de U' qui, par sa definition meme, represente la somme des travaux des forces pour le deplacement virtuel caract^rise par 8x, Sj, ....

II en est de meme aussi du premier membre de i'equation (8), car I'expression

djT ^ dv ^ dz ^ dt dt ' dt

represente le produil de la yitesse^^du point M par la projection, sur la direction de cette vitesse, du deplacement virtuel h du meme point M (Is a pour projec- tions sur les axes Sa?, 8y, Ss).

Multiplions Tequation (8) par dt et integrons entre /© et f\ <l^ux valeurs quel- conques de /; nous trouverons

(9) [2 - (§ ^-r ^ I ,y -. g ^')X-(\^'^ - ^' ) ''^

oil le premier membre represente la difference des valeurs que prend, pour

t = t^ et / = /, , Texpression 2'^("^^^"^"^^-^'^57 ^^) '

Si nous imposons aux variations ^qi la condition de s'annuler pour / = /o et i = ti9 il en sera de meme des variations Sa?, Sj, ..., et Tequation (9) donnera

(10) f(oT-^ {]')dt"o;

cette formule constitue ce qu'on appelle \e principe d Hamilton.

Dans un cas tres general, il est permis de simplifier Tequation (10) : c'est le cas oil il existe nne/onction des forces U, c'est-a-dire oil Ton a

da: oy oz

^^-^F" '

la fonction U est supposce ne dependre que des coordonnees x,y, z, x', ... des divers points du systeme et du temps / qui peut y figurer explicitement.

INTRODUCTION. 5

En se reportant a la definition de U', on trouvera

et Inequation (lo) s'ecrira

r'(dT-i-3U)--r. o

ou, plus simplement,

(II) a f (T~i \])dt—o;

ainsi la variation de Tintegrale /^ (T -f- l])dt doit etre nuUe.

Nous supposerons desormais Texistence d'une fonction des forces, de la na- ture indiquee, ce qui se trouvera realise dans les applications a TAstronomie dont nous aurons a nous occuper.

3. Equations de Lasrrange. — Le principe d'Hamilton se prete tres faci- lement a la transformation des equations differentielles du mouvement d'un systfeme, lorsqu'au lieu des coordonnees rectangulaires on introduit d*autres variables pour determiner les positions des divers points du systeme.

Supposons que, a I'aide des equations de liaison (2), on ait exprime les co- ordonnees 07, y^ 5, x\ ... de tons les points du systeme en fonction de / et des £ variables ind^pendantes q ^ , q^, ..., qj^. Posons d'une manibre generate

dqi

Texpression (6) de T prouve que cette quantite deviendra une fonction de /, de y,, ya, ..., qk et de q\^ q^, ..., q\; U ne dependra que de / et de y,, y^, ..., q/^. On sait qu'en diflerentiant par rapport a la caracteristique S on doit regarder comme constant le temps qui figure explicitement dans les equations de liaison; on aura done

i— 1

puis

"■^-2:^''-2: ??,''"

1=1 1=1

6 INTRODUCTION.

en portant ces expressions de SU et de 8T dans (i i), il viendra

(i3)

m.

dq

dqk

)H

dt

or on a

•0

o;

ou bien, en integrant par parties.

[%<-{''-^'^--

Mais, puisque les variations Sy, sont supposees nulles pour / = /^ et pour / = /|, il vient

ri^'=*=-/''-^^""-

et Tequation (i3) peut s'ecrire

(

'^U, \l-^t 5^;— J^^'-^- -^L-^^

T + U)

dqjt

dgjt \dt = o.

Cette equation doit avoir lieu quelles que soient ies variations infiniment pe- tites S^o ^?2* ••• qui sont independantes les unes des autres; on en conclut que Ton doit avoir identiquement

\dq\ )

dl

(i5)

\dg'J

dt

dqt dqt ~" '

\ dt

dqu dqk~~ '

car, si ces quantites n'etaient pas identiquement nulles, on pourrait donner aux

INTRODUCTION. 7

variations Sy,, 0^2* ••• dcs signes tels que, pour toutes les valeurs de / comprises entre t^ et /,, chacune des expressions

soit constamment positive, et alors, tons les elements de Tintegrale (i4) ayant le meme signe, cette integrale ne pourrait pas etre nulle.

Les equations (r5) sont dites equations de Lagrange; elles ont ete donnees pour la premiere fois par ce grand geometre.

On voit done qu'aussitot que, dans les problemes de Dynamique consideres, on a fixe le choix des variables independantes a Taide desquelles on pent ex- primer les coordonnecs de tons les points du systeme, on est a meme de former sans elimination, par un calcul elegant et facile, les equations different! elles propres k determiner les variables introduites.

4. Forme canonique d'Hamilton. ~ Nous considerons maintenant les problemes de Dynamique dans lesquels les liaisons sont independantes du temps; nous admettons toujours qu'il existe une fonction des forces, depen- dant seulement, comme nous I'avons dit, des coordonnees des divers points, et pouvant contenir explicitement le temps.

Soient 7,, q^, ...9 qn l^s variables independantes a Taide desquelles on pent exprimer les coordonnees de tous les points ; on aura, puisque les liaisons sont independantes du temps, des expressions de cette forme

y — ^{iu qu ••., qk).

d'oii, en representant comme precedemment par q\ la derivee -^S

dx , dY ,d¥ , d¥

dy , d<l^ , d<b , d<l^

En portant ces valeurs dans

'-=2"mH^)Hm

8 INTRODUCTION.

on trouvera un resultat de cette forme

On voit que T est une fonction homogene et du second degre des variables q'; les coefficients A|,,, A|,2t ••• sont des fonctions des variables q ne contenant pas le temps explicitement. Les variables q seront determinees par k equations diflerentielles, telles que

\dqj dT _d\}

quand, apres avoir forme la derivee partielle (^J> on remplacera y',, q\^, .. .

respectivcment par -^> -^> • • • > on voit que Tequation (17) sera une equation

differentielle du second ordre. Le probleme dependra done de Tintegration de k equations differentielles simultanees du second ordre.

Nous aliens actuellement faire un nouveau changement de variables en po- sant

(18) W^^^'' 5^"^*' ••' Wk^^''

nous remplacerons les k variables q\ par les k nouvelles variables y^. Si Ton tient compte de (16), les equations (18) pourront s'ecrire

( P\ — A, ,1^1 + A,,j7; -h . . . + ki^kq'ky

('9) I pi — A,,,7;-h A,,,^; 4-...-i-A,,*^i,,

En resolvant ces ^equations du premier degre, on aura les valeurs de q\, y'j, ..., q\ en fonction dep^^p^^ ••♦/^a et de ^r,, q^, ..., y*, et si Ton reporte ces valeurs dans (16), on trouvera un resultat de la forme

aT — B,,,/[>J-i- 3B,,5/>,/>, -}-. . .-\-2Bt^kPiPk

oil les coefficients B,,,,B|^a, ... seront des fonctions dey,, ya, "-^ qk

INTRODUCTION. 9

Quant a la fonction U, cllc ne changera pas, puisqu*elle est supposee ne pas contenir les variables q\

T, qui etait d'abord une fonction des variables y/Cty'^, devient maintenant une fonction des variables y,- et/?, ; d'apres ce qu'on a dit plus haut, qi n'entre pas de la noeme maniere dans les deux expressions de T; il convient de designer

par 3— 'a derivee partielle de T prise dans Thypothese des variables qi et y'^;

la derivee prise dans Thypothese des variables y, et/?/ sera representee simple-

&\ ment par -^ •

L'equation (17), en ayant egard a (18), s'ecrira done

(20)

dt

On aura, pour la differentielle totale de T prise dans le premier cas,

<"=2[S]*-2:f;*

OU

et, pour la meme diflerentielle totale prise dans le second cas,

On a eniin, en appliquant le theoremc des fonctions homogenes ^ T,

OU bien

d'oii

En retranchant de cette equation I'equation (21), il vient

T. - I.

lO INTRODUCTION.

et, en comparant les deux expressions (aa) et (24) de dt, on trouve

(a5)

Ugi] ~

dqt

91

dpi'

cette derniere equation pent s'^crire

(a6)

On tire, du reste, de (20) et (aS),

dq, _ dT

dt dpi

(V)

dpi <JT ^U

dt dqt dqt

En dormant a i les valeurs i, 2, ..., k, les equations (26) et (27) presentent le resultat cherche sous la forme de 2^ equations differentielles simultanees du premier ordre, d'aspect tres simple.

Mais on peut obtenir enoore plus de symetrie en introduisant une notation speciale pour representor la difference T — U et posant

H=:T-U;

si Ton remarque que, par hypothese, U ne contient pas les variables pi, on voit que

dpi "~ dpi

On a, du reste,

dqi~ dqt dqt'

et les formules (26) et (27) deviendront le type des equations du groupe sui- vant :

I H=:T-IJ,

(a8)

dq, d\l dt dpx dq, ^ dVL dt dp.	dp, dn dt dqi dp^ dn dt dq.
dq, ^ dVi dt " dpk	dpk d^ dt dqk

II resulte de la que la resolution d'un probleme quelconque de Dynamique

INTRODUCTION. 1 1

(avec les restrictions enonceeS) se ramene a Tintegration d'un systfeme do a^ equations differentielies simultanees du premier ordre dans lequel les va- riables sont conjugueesdeuxadeux; laderivee del'une quelconque des variables par rapport au temps est egale a la derivee partielle d'une meme fonction H, prise par rapport a la variable conjuguee, ou a cettc derivee changee de signe. Ces equations (28) sont dites ramenees a la forme canonique.

5. ThSor&me d'Hamilton. — Supposons que Ton ait integre les ik equa- tions differentielies simultanees (28); on aura done exprime les variables qi et Pi en fonction de / et de 2k constantes arbitraires c,, c^, ..., ^2;^; on pourra exprimer de la meme maniere la fonction H. Cherchons, dans cette supposition,

la derivee partielle -t-\ nous aurons

(JH __ OR dp, ()H dpt (?H dpk

dci dpi dci dpt dci ' dpk dct

m dq, dn dqt dR dgk

dgi dci dqt dci ' " dg^ Oct

ou bien, en tenant compte des equations (28),

dR dg, dpx , dg^ dp^ , , dg^ dpk

dCi dt dCi de dCi " ' de dci

___ dp^ dgx _ dp^ dgi __ _^ €ipk Ogjc

de dci de Oci ' " de dci ce que Ton pent encore ecrire

dR d ( dg, dg^ dgk\

d ( dgx dgt dgk\

ou encore, a cause de la relation (23),

[ 2(?T d / dgi dg^ dgA

]='d^''de\^'d^'^^'d^s'^''^^''dirj

dR 2dT dc

On en tire, en remplagant H par T — U,

(J(T-hU)_ d / dgi dg^ dg

dci

d ( dgi dg^ dguX

Multiplions cette equation par dt et integrons entre les limites /q ^t ^ ^o ctant

1 2 INTRODUCTION.

suppose independanl des constantes c, ; nous trouverons

les indices to et / places au-dessous des parentheses indiquant qu*il faut v reni- placer / successivement par / et t^. Posons

(3o) ^^r (T-^U)^^;

cette fonction a etc appelee par Hamilton Jonction principale; elle est, d'apres cc qui precede, exprimee a i'aide de / et des ik constantes arbitraires r,, Cj, ..., c/, ..., c^f,. Donnons a ces constantes des variations infiniment petites 2c, independantes les unes des autres ; designons par o^r, et SS les variations corres- pondantes de qi et de S; nous aurons

OCx dct OCi dctk

O7.= 5^3c,-^^^oc.-f-

0^1 —

Designons par {pi\^ (9i)of {^9i)o ^c que deviennent les expressions de/?,, y,- et Sy, quand on y fait / = /© ? si nous multiplions Tequation (29) par oci et si, attribuant a Tindice i les valeurs i, 2, ..., 2^, nous faisons la somme des equations obtenues, nous trouverons

S etait d'abord, comme nous Tavons dit, une fonction de / et des 2k constantes arbitraires; or, en designant par ^i une certaine fonction de / et des constantes, on a

(32) qi — ^i{tyCi,Ci,.,,,ctk)> d'ou Ton deduit

(33) {qi)o — Ki{hiCiyCf, ...,Cjx).

On a * equations telles que (32) et k tellcs que (33); on en pent tirer les va- leurs des 2k constantes c,, c^, ..., Csa en fonction de /, i^t q^, 92* •••> 9a ct de

INTRODUCTION. 1 3

WOo» (92)0^ •••» (^a)© et les reporter dans S, qui deviendra unc fonction des memes quantites; on aura done, en remarquant que dans le calcul de 8S on ne doit faire varier ni / ni /o>

(34) '

En comparant les expressions (3i) et (34) de BS, on trouve

<^') W^=^" W^^^" ■■■' O^k'^"

On pent maintenant, si I'on veut, regarder les 2k quantites (91)0 > (^2)0* •••• (y*)©* (Pi)of (P2)of •••» (a)« commc de nouvelles constantes arbi- traires pouvant remplacer les anciennes c,, c^, ..., c^^^; alors les 2^ equa- tions (35) et (36) seront les integrates generates des equations (28). En se plagant au point de vue special du probleme de Dynamique considere, on pourra dire que les equations (36) sont les integrates de ce probleme; car, a elles seules, elles donnent les valeurs dc ^,, g.2, ..., q^ et, par suite, les valeurs des coordonnees de tous les points du systeme exprimees en fonction de / et de nk constantes arbitraires. La forme remarquable sous laquelle se presentent les equations (36) donne lieu au theoreme suivant, du a Hamilton :

Les intdgrales d'un probleme de Dynamique^ dans lequel les liaisons sont mde- pendantes du temps et oil il existe une fonction des forces independante des vi- tesseSf peuvent toutes s'exprim^r en egalant a des constantes les derivees partieUes d^une autre fonction S prise par rapport a d'autres constantes.

D'apres la mani^re dont la fonction S a ete introduite, il semble que, pour la connaitre, il soit necessaire d'avoir prealablement resolu le probleme propose; il parait en effet necessaire d'exprimer d'abord T -h U en fonction de t et des

2* constantes c,, d'effectuer la quadrature / (T-hU)rf/ et d'exprimer ensuite

le resultat, en fonction de /, des k variables q^, q^, •••» ^a et des k constantes (?«)•' (9-2)0* •••» (y*)©? heureusement, on pent operer autrement. Hamilton a prouve, en effet, que cette fonction S verifie une certaine equation aux derivees partieUes du premier ordre.

Pour le faire voir, remarquons que Tequation (3o) donne

37) f=T + U.

1 4 INTRODUCTION.

D'apres ce qu'on a dit plus haul, S est une fonction de t^ des variables qi et des constantes {qi)^ ; S contient done le temps explicitement et implicitement, et Ton aura

^S ()S ^ e^S dqt

'di ~' 'dl ^ ^dqt^l

ou bien, en tenant compte de (35) et (Sy),

^ + ^ = ^^+2^5 ou encore, en ayant egard a la formule (^S),

at

Posons comme precedemment H = T — U, et nous aurons

(38) ^ + H = ^-

La fonction U ne contient que le temps / et les variables qi\ mais T depend des variables y, et q\ ou bien des variables qi et/?,; on pent done ecrire Tequa- tion(38) comme il suit :

-jl -^-H(^ qu qu . • ., qk; pu pu • • •»/>*) — Oy

ou encore, en ayant egard aux formules (35),

On voit done que la fonction S est une integrale complete d'une equation aux derivees partielles du premier ordre, dans laquelle figurent les A 4- i variables independantes /, ^,, q^, ...» qk\ cette integrale contient les k constantes (^i)o, (5^2)o» •• » (y*)©* sans compter la constante qu'on pent lui ajouter directement, puisque I'equation (39) ne contient pas S, mais seulement ses derivees par- tielles.

Remarque. — L'equation (39) estdu second degre par rapport aux derivees 5~"' 5^' '"' T^'^ celaest une consequence des formules (16') et( 35).

6. R6ciproqu6 de Jacobi. — II y avait lieu de se demander si, en prenant pour S une integrale complete quelconque de I'equation (Sg), on aurait encore les integrales du mouvement sous la forme remarquable exprimee par les equa-

INTKODUCTION. 1 5

tions(35) et (36); c'est ce qu'a fait Jacobi en demontrant le beau theoreme suivant :

Soil V equation

dans ktquelle H = T — U e^/ une fonction de t et des ik variables ^1,^2, ..., q^^

P\^P2* '"^Pkl enfaisant pi = -^-i on ohtient une Equation aux derivdes partieUes

du premier ordre nontenant A -hi variables independantes t^ q^^ q^y .^.^ qn* Suppo- sons que I' on ait ohtenu une integrale complete S de cette equation, cest-a-dire une solution fonction de t et des k variables y, et contenant k constantes arbitraires, a,, aa, ..., a;^, independamment de la constante que Von peut toujours ajouter di- rectement a S ; alors les equations

dans lesqueUes ^,, ^j, ..., P* designent k nouvelles constantes , sewnt les integrates gendrales du systems des 2 k Equations diffdrentielles simukanies

(43)

dq, ^H dt dpx '	dpx dt	dqx
dqk dR dt dpk '	dpk dt	dR

Differentions en effet les equations (4i)compIetement par rapport au temps: nous aurons

(^»S _^S_ dq, (^«S dqj, ()«S dqk _

doci dt dctx Oqt dt da^ dq^ dt ' ' ' d<Xi dqk dt ~~ '

(^«S (^«S dq, <)»S dq^ ()«S dqk

(44) { doL^dt ' doCfdqi dt ' doL^dq% dt dct^dqk dt *

* »

d*S d^S dq, d^^ diqt ()«S dqk __

dockdt doLkdqx dt dotkdqt dt ' ' ' doLkdqk dt

Si, dans Tequation (4^), on suppose S remplace par sa valeur en fonction de /, des variables qi el des constantes a^, on aura une identite ; on peut done differentier relativement aux constantes a, ou par rapport aux variables q\. Fai-

I G INTRODUCTION .

sons-le d'abord par rapport a a, : nous trouverons

d*s , dn dp, on dp, , on dp^_

dt doLx Opi dcti dpi 0^1 dpi- dot,.

ou bien, en tenant compte de (4^)»

(?«S <)H d*'^ dR (?»S dVL d^^

dl doLi dpx df/i dxi dp, dq% da, dpa dqk doc^

On trouvera d'autres equations toutes pareilles en differentiant (4o) par rap- port a aa, a,, ..., a^t, et I'on pourra ecrire cet ensemble d*equations

/ (}»S (?«S dH d'S dU d^S dH

4- ... 4- -:i -T— J— = O,

dt dctx dqx doLx dpx dq, da, dp, dqk dax dpk

d»S c?«S ^H d^^ d^ c^*S d^

i— 3 h . . . -h -^ 5— -^ — = O,

(45) ' dtdoL, dqx doc, dpx dq,dix, dp, dq^da, dpk

c?«S d^% (?H d^S dVL d^% dn

-f- , : ; h . . . -h -^; r— -r— = O.

dtdoLic dqxdctk dpx dq,d<Xk dp, dqkdak dpk

On va comparer ce systeme d'equations avec le systeme (44); on sait que Ton a

doLidt '" dtdcti <^»S d^S

dqidoLj doLjdqt^ '

il en resulte que, si I'on considere, dans les equations (44)» -4r* -Sr^ ••» ^

comme les inconnues et si Ton prend pour inconnues, dans les equations (45),

j-> T"' '"' ^' ^^ ^^^^ deux systemes de k equations du premier degre a

k inconnues. Dans les deux systemes, les coefficients des inconnues et les termes tous connus seront les memes; done les inconnues correspondantes auront les memes valeurs dans les deux systemes. On en conclut, d'une maniere generale,

<^^) Tt = d^;^

la premiere moitie <]es formules (43) est ainsi demontree. Partons maintenant de Tequation

INTRODUCTION. 1 7

nous cn deduirons

dpi _ d^^ , d^^ dq, ^ (?«S dq^ ^ (?*S dq,,

~\ • • • 1

dt dqi dt dqt dqx dt dqi dq^ dt ' ' ' ' dqt dqie dt

ou, en ayant egard a (46),

,, , dpi d'^ (>*S dVL (>-S dW (?*S dW

(47) -^^ HZ 1 h f- -+-

dt dqidt dqidqx dpx dqtdq^ dpt '" dqidqn dpk

Or, en differentiant (4o) par rapport a qi, on trouve

ou bien

^ d'S OH dHdpxOndpt dU Opu

~~ dt dqi "^ dqt dpi dqi dpt dqt '" dpk dqt ^

c^'S dH c)*S d\\ d*S dH

dt dqt dqt Oq^ Oqt Opi '" dqk dqt Op a

en remarquant que (42) donne

dpj _ d*S

Oqt dqj dqt

En rapprochant cette equation dc I'equation (47 )» o" obtienl

dpi^_dH,

dt dqt^

done la seconde moitie des formules (43) est demontree.

On voit done que les equations (40 et (4^), qui determinent les 2k variables Pi et qi en fonction de t et des ik constantes arbitraires ol^ et P^, sont bien les integrates generales des equations differentielles simultanees (43).

Remarque. — Les equations (4i) determinent y,, q.^, ... et, par suite, les coordonnees dc tons les points du systeme en fonction de / et des 2k constantes arbitraires; dies suffisent a resoudre le probleme propose. Les equations (42) determinent ensuite les inconnues auxiliaires /?|, p.>, ...; on les appelle inte- grates intermediaires.

Tout probleme de Dynamique dans lequel les liaisons sont independantes du

temps et oil il existe une fonction des forces (pouvant contenir le temps explici-

tement) se ramene, comme on Ta vu, a un systeme d'equations differentielles

simultanees, tel que (43); on pent done en conclure que la solution de chacun

des problemes de Dynamique consideres plus haut se ramene a la determination T. - L 3

1 8 INTRODICTION.

(rune integrale complete d'uiie certaine equation aux derivees partielles du pre- mier ordre.

Cette equation n'etant pas lineaire, on n'a pas de methode generale pour en trouver une integrale complete; on pent neanmoins I'obtenir dans un cer- tain nombre de cas et, par suite, resoudre le probleme correspondant, comme nous le montrerons dans la suite de ce Traite.

7. Cas oil la fonction des forces ne contient pas le temps explicite- ment. — T est deja suppose ne pas contenir le temps explicitement; il en sera done de meme de H = T — U, et Tequation aux derivees partielles sera

Oe

En designant par a une constante, nous poserons

(49) S-^-a^-f-S',

et nous supposerons que S' ne contienne pas le temps explicitement; on aura

et Tequation (48) deviendra

S contenant deja la constante a, il suffira de trouver une solution S' de Tequa- tion (5o) renfermant X* — i constantes arbitraires a,, aa, ..., a;t_, ; on aura en- suite, en designant par ^i, flj, .... ^^-i* P» ^ nouvelles constantes arbitraires,

ce qui devient, en rempla^ant S par sa valeur (49)»

On voit done qu'on est ramene a la recherche d'une integrale complete d'une equation aux derivees partielles contenant k — i variables independantes au lieu de k.

Voyons ce que deviennent les resultats ci-dessus dans le cas de n points mate- riels entierement libres.

Nous supposons toujours qu'il existe une fonction des forces pouvant contenir

INTRODUCTION. 1 9

le temps explicitement, mais ne dependant que des coordonnees des points con- sideres.

Soient ;r/, J,, 5,, /w^ les coordonnees rectangulaires et la masse de I'un quel- conque de ces points; on aura 3n coordonnees et 3n equations differentielles, telles que

d^Zi _ d\}

Soit 2T la somme des forces vives des n points du systeme; on aura

(53) ^j^^m,{x'^^y\'-\-z'^),

en posani

^^ — ' ^ __ ' ^^' __ '

dt "*^'- dt ~''^" di '"'•

Puisqu'il n'y a pas de liaisons, on pourra prendre .r^, y^, zi pour les va- riables q\ on tire do (53)

les variables/? seront done mix], miy], rniz'.. On aura

dvi '' ' dvi ' dzi

et la formule (53) donnera

i — n

Tequation (40) sera done, dans le cas actuel,

i — n

as I V ' IY<'S\' /'^s\' /'^s\*i ,-

1 = 1

oil U designe une fonction connue de t et des 3/? variables independanles

Pour obtenir les mouvements des n points du systeme, il suffira done de trou- ver une solution Sdel'equation (54) aux deriveespartiolloscontenant le temps/,

les 3/1 coordonnees ,r/, /,, Zi et 3/i constantes arbitraires a^, a^ aj^; apres

quoi, en designant par ^,, ^o p.,„, Zn nouvelles constantes arbitraires, les

20 INTRODUCTION.

integrates generates scront fournies par les formules les integrates intermediaires seront

dt iUi ' dl ()Vi dt dzi

Si la fonction des forces ne contient pas le temps explicitement, ce qui arrivera si les points materiels sont soumis seulement a leurs attractions mutuelles, on devra considerer, au lieu de (54), Tequation aux derivees partielles suivante

• • • •

i — n

i.-i

oil a designe une constante arbitraire, et en trouver une solution S' eontenant les 3/1 variables xi^ r,, :;/ et 3w — i constantes arbitraires a^, a^, ..., a,„_, en dehors de la constante a ; les integralos generates seront

8. Relations de Jacobi. — Nous allons demontrer un theoreme qui nous sera utile dans la suite.

Soit S une fonction de n quantites y,, y.^, ..., q,, et de n autres a,, a^, ..,, a„; posons

dqx ' dqi '^' Oqn

On pourra tirer de cos equations

I I on fonclion oe ( r )'

\<7i, 72* • • • ' 7/1/ \pM Hi) • • • • .^/i /

et, en portant cos valours dans les equations (i), on aura des identites que Ton pourra differontier par rapport a Tune quelconquo dos quantites a et p. On pourra tirer aussi des formules {a) ot (b)

I ^ ) ^" fonction do r^ '^ ' ) ,

\Pi» Pf» • ' p/»/ Wi' <7j> • • • ^ 7/1/

et, en portant ces valours dans les equations (a), on aura dos identites quo Ton pourra differontier par rapport a Tune quelconquo dos quantites/? ot q.

INTRODUCTION. . 21

II en resultera, en designant par i et ^ deux indices quelconques de la serie 1, 2, ..., n, des derivees partielles, au nombre de /\n}, de Tune de ces formes

dfh_ dp, dq, dq, ^""^ doL,' d?>,' da,' ()?A-'

et iin second groupe de ^n} derivees partielles de la forme

doL, ()xf, d^, r)3<

(^/)

-- — >

dpi' dqr dpr dq,

Les relations suivantes, dues a Jacobi, permettent d'exprimer d'une maniere fort simple Tune quelconque des derivees (c) au moyen de Tune des derivees (d) :

^^^ da,^ dqi' ^^^ d^,- dp/

lf\ dpi^^da, dqt _ d^K

^•^^ d^K- dq/ ^''^ da,- dpi'

Tel est le theoreme qu'il s'agit de demontrer.

Ditterentions les n equations (a) par rapport a y^, puis les n equations (b) par rapport a a^^; nous trouverons

(?«S d^S da, d^S da,

-+- "^ — r- 3-^ -+- 3 — r- T-^ 4- . . . = o,

dqi dqi dqi da^ dqt dq^ da^ dqt (55) \ dt^ d'% da, f?«S da.

dqt dqi dq, da^ dqt dq, da, dqt

-h . . . =1 o,

f?»S f?«S dq, r}«S dq.

dai da, da^ dqi da, da^ dq, da.

-t- . . . = o,

(56) ', ^}*S d^^ dq, r)»S dq.

da, da, da, dqi da, da, dq, da, ' ' ' *

En multipliant les equations (55) respectivement par ~> -^, ... etajoutanf, il vient

_ _d^_ dq^ f}*S dq, da, ( f^'S dq^ __^^_ dq.

dqi dqi da, dq, dqt da, dqt \dq, da^ da, dq, da, da,

da, ( f)*S dq, ^*S dq

dqi \dqxdx, da, dq,da, da,

...)

ce qui, ii cause des formules (56\ se reduit a

_ f}*S dq, r}*S dq, ( ^«S da, f}»S da.

dq\ dqi da, dq, dq, da, ' ' ' Xda, da, dqt da, da, dq

;-....),

22 . INTRODUCTION.

si Ton ajoute et si I'on retranche ^ — ^— > on peut ecrire encore

doLk\dqiJ dqi\dXf,J

ou bien, en ayant egard a {a) et (6),

c'est la formule {e).

Differentions les n equations (ft) par rapport a p^; nous aurons

a«S dq, d^S dq^

<)«, (^7, di^k d<Xi dqt d^k '" '

d'S dq, ^ d'S dq^ _

doct dqx d^k doc^ dqt d^k

(?*S (?7, , d'S dqt _

JQ "* • • • ' >

Multiplions ces equations (57) respectivement par y-S ^, ••• et ajoutons, il viendra

diXk dqi / d^S doCi d^S dtXf \

dq, ~ d^k \d(Xi dqi dqi d(Xt dqx dqt '")

dqt ( d^S doL^ /)*S doLf

di^k \doLx dqt dqt dxt dqt dqi

ce qui, a cause de (55), se reduit a

dax- _ _ / d^S dq^ d*S dq^ ^ \ _ d / d^\ _ dpi_ .

dqi '~ \dqxdqid?iK dqtdqidq^ ")' d?A\dqi) d^A^

c'est la formule (/).

Differentions les equations (a) par rapport a/?,, nous trouverons

d^S doL, r)*S doit

' 1-...-0

dqxdoLx dpi dqx d<Xt dpi

1

t- "^^ \ — ,. -r . . . O,

dqtdcf.^ dpi dqtdiXt dpi

(j8

c)*S d(x, r)^S doLt

dqi doLx dpi dqi doLt dpi

INTRODUCTION'. 23

Multiplions ces equations respectivement par -^^ j^^ •• ^t ajoutons, cela nous donnera

"^ dpi \dqi doci d^/, ~^ Oqs dot^ J^a */

en vertu des relations (57), cela se reduit a

dq, _ doc^

c'est la formule (g).

Multiplions enfin les equations (58) respectivement par ^> J^- i • • • et ajou- tons, il viendra

()xk ~~ dpi \Oqi do^i OoLf, dq^ Ool^ Ool^ * * /

doL^ ( r}*S Oqx ()*S <?7j \

d(XK dq^ daCi diXf, "J

~\~

dpi \dqi doL^

ce qui devient, a cause des formules (56),

dqj _ _ _ a«S da, _ ()*S_ (?as _ __ 6>_ /j^\ _ <^^.. t^a^r ~ OoLxdoLk dpi doL^doLk dpi • • — ^)p. \doLf,) ~ d*/?, ^

c'est la formule (A).

On pourra faire usage des relations {e), (/), (^), (A), quand on aura integre les equations d'un probleme de Dynamique par la methode de Hamilton-Jacobi; en effet, les conditions (a) et (6) seront bien remplies, S etant une fonction de y<, ya» ...,y;„a,, a^, ..., a;, et de /; en prenant les derivees partielles, on n'aura pas, bien entendu, a se preoccuper de t.

CHAPITRE 1. — LOI DE LA GRAVITATION L'NIVERSELLE. 2 J

CHAPITRE I.

DE LA LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE TIRl&E DES OBSERVATIONS.

1. Les planetes, dans leurs mouvements autour du Soleil, obeissent aux lois suivantes, que le genie de Kepler a fait jaillir des observations de Tycho-Brahe :

i*^ Les planetes se meuvent dans des courbes planes et leurs rayons vecteurs de* cris^ent des aires proportionnelles aux temps;

a** Les orbites desplanStes sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer;

3** Les carres des durees des revolutions siderales des planites autour du Soleil sont entre eux comme Us cubes des grands axes de leurs orbites.

Nous allons appliquer aux mouvements des planetes les theoremcs de la Mdca- nique rationnelle; ces theoremes reposent sur le principe de rinertie et sur le principe des mouvements relatifs.

D'apres la seconde partie du principe de Tinertie, quand un point materiel est en mouvement, si aucune force nagit sur lui, son mowement est rectiligne et uni- forme.

Considerons une planete P dans son mouvement autour du Soleil ; ce mouve- ment n'est pas rectiligne. Done une force R agit sur elle a chaque instant pour I'eloigner de la ligne droite qu'elle decrirait si elle etait absolument libre; nous nous proposons de trouver les lois qui regissent cette force, sa direction et son intensite. Chacune des lois de Kepler va nous fournir, a ce sujet, un renseigne- ment important. Je rappelle d'abord le theoreme suivant de la Mecanique ra- tionnelle :

Si la trajectoire d'un mobile est plane et si le rayon vecteur mene du mobile a un point fixe du plan de la trajectoire decrit des aires proportionnelles au temps^ la force motrice est constamment dirigee vers ce point fixe.

T. - I. 4

28 CHAPITRE I.

Or la troisieme loi de Kepler nous fournit la relation

il en resulte el

I

H'

_ ''* F

/•'»

Ainsi [X est le meme pour toutes les planetes, et la loi de la force R' rentre dans celle de la force R; nous arrivons done au resultat suivant :

Soient P Vune quelconque des plane tes, m sa masse; dans chacune de ses positions^ elle est soUicitee vers le centre du Soleil par une force dont V expression

est —j^i [X designant une constante commune a toutes les planetes.

Si nous considerons que les positions occupees successivement par la pla- nete P sont comprises entre deux cercles concentriques de rayon a(i — e) et a(i 4- e), de meme que celles de la planete P' sont comprises entre les cercles de rayons a'(i — e') et a'(i 4- e'), ..., nous sommes conduits a admettre que, partout oil se trouvera une molecule materielle M, de masse m, situee a la dis- tance r du centre S du Soleil, elle sera necessairement soumise a Taction d'une

force dirigee suivant la droite MS et ayant pour expression — |

2. Apres etre arrive au resultat precedent, Newton s'est propose la question inverse :

Un point materiel de masse m est soumis constamment a I' action d'une force dirigie vers le centre du Soleil et variant en raison immerse du carre de la distance : trouver sa trajectoire.

On voit, par raison de symetrie, que la trajectoire doit etre plane, son plan etant astreint a passer par le centre du Soleil et par la vitesse initiale du point

materiel. Soil R = —^ la force donnee; on aura, par la formule (i),

d'oii

LOI DE LA GRAVITATION INIVERSELLE. 2f)

On en lire, en integrant et designant par e et a> deux constantes arbitraires,

' -7i=^^^<^o^(^-^)^

r

c^

(2) /•

1-+- ecos(6 — G))'

done la courbe est une section conique ayant le point S pour foyer.

Remarque. — On peut supposer e > o ; car, si la constante e etait negative, on la changerait en une autre egale et de signe contraire en remplagant dans Tequa- tion (2) (0 par a> -h tc.

Demandons-nous si Ton peut disposer des donnees initiales de maniere que la trajectoire soit Tune quelconque des trois sections coniques.

Soient 0© et r© les valeurs initiales de 0 et de r pour / = /©» ^0 Isi valeur ini- tiale de la vitcsse du mobile, et yj^ Tangle que fait cette vitesse avec le pro- longement du rayon vecteur. On a, par les formules connues de la theorie des forces centrales.

VoSinrio - —J '*0
VoCOSYio — — C-\

On en conclut, en ayant egard a Tequation (2),

e sin((/o— co) =: — 2 roSimooCOSYio, (3) ' ^

I ecos(0o-- w) = — ^roSin^Yio— i ;

ces equations determinent sans ambiguite les constantes e et a>; ^ est I'excentri- cite de Torbite, comme le montre Tequation (2), et co est Tangle polaire qui

c«

correspond au perihelie ; — est egal au parametre p ou a

-=a(i-e');

on aura done

En elevant au carre les equations (3) et les ajoutanl, on trouve

-e'=Xlr|sin«ri.(^-Vj);

3o CHAPITRE I.

la trajectoire sera une ellipse, une parabole ou line hyperbole, suivant que la valeur de i — ^* sera positive, nulle ou negative; si done on a

VJ < -j-y la trajectoire sera une ellipse;

VJ r= -^, )) )) parabole;

V; > -f-> » » hyperbole.

On voit que le genre de la section conique ne depend que des donnees initiales ^0 et Vo et nullement de y]©.

La formule (4) donnera ensuite, avec la valeur ci-dessus de i — e*,

V*

a r-Q

le grand axe de Torbite est independant de r^o-

3. Orbites des comMes. — Kepler avait neglige d'etudier les mouvements des cometes, sans doute parce qu'il attachait une mediocre importance a ces astres qu'il considerait comme des « meteores engendres dans Tether ». Newton voyant que, sous Tinfluence de la force consideree ci-dessus, un point materiel pent decrire autour du Soleil, non seulement une ellipse voisine d'un cercle, comme le sont les orbites des planetes, mais une ellipse tres allongee ou memo une parabole, Newton, disons-nous, fut amene a penser que, comme les pla- netes, les cometes decrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer, toute la difference consistant en ce que les orbites planetaires sont peu excentriques, pen inclinees sur Tecliptique, tandis que les cometes decrivent des ellipses tres allongees et situees dans des plans quelconques. On s'expliquera ainsi pourquoi les cometes ne sont visibles que pendant un temps limite; c'est le temps pen- dant lequel elles sont assez voisines a la fois et du Soleil et de la Terre pour que leur eclat permette de les apercevoir.

On sait que la parabole est la limite d'une ellipse ayant meme sommet et meme foyer, et dont le grand axe augmente indefmiment; il en resulte que, dans le voisinage du perihelie, I'orbite d'une comete, supposee elliptique et tres allongee, differera fort peu d'unc parabole ayant le Soleil pour foyer. Newton fut done amene a penser que les orbites des cometes peuvent etre considerees comme paraboliques. II eut bientot I'occasion de mettre ses idees a Tepreuve : le 1 4 novembre i68o parut une comete qui se rapprocha rapidement du Soleil et disparut dans ses rayons le 5 decembre. Le 22 decembre suivant, une comete tres brillante apparaissait de Tautre cote du Soleil. En calculant les observations des deux cometes, Newton demontra qu'elles ne formaient qu'un seul et meme astre; elles avaient decrit chacune un arc d'une meme parabole.

LOT DE LA GRAVITATION UiNIVERSELLE. 3 1

On a observe depuis un nombre considerable de cometos paraboliques; pour rhacune d'elles, le centre du Soleil coincide avec le foyer de la parabole et le rayon vecteur decrit des aires proportionnelles aux temps. Done chaque comete, dans I'une quelconque de ses positions, est soumise a une force R dirigee vers le Soleil et ayant pour expression

„ mc^ I n =r -.

Si Ton compare aux quantites c ci p les quantites & et/?', c" et/?", ..., qui cor- respondent a d'autres cometes, on constate que Ton a

de plus, la valeur commune de ces rapports est egale a la quantite correspon- dante

commune a toutes les planetes.

Nous retrouvons done la meme loi d'attraction R = -~i oil ul est une con-

stante pour tout le systeme planetaire, et nous sommes en droit de considerer le centre du Soleil comme le foyer d'une force attractive qui s'exerce dans toutes les directions, sur tons les corps, proportionnellement a leur masse et en raison inverse du carre de la distance.

On voit quelle force les cometes apportent a cette demonstration : a Taide des planetes, on ne pouvait demontrer Texistence de Tattraction que pour des points situes dans le voisinage de Tecliptique; les cometes, au contraire, sillonnent Tespace dans tons les sens et, partout oii elles penetrent, elles nous montrent la meme loi d'attraction qui les accompagne.

4. Pour passer de la loi d'attraction exercee par le Soleil a la loi de la gravita- tion universelle, il restait un pas difficile a franchir; voyons quelles sont les idees qui ont guide Newton dans cette voie.

Les observations demontrent que les satellites obeissent a tres peu pres aux lois de Kepler dans leurs mouvements autour des planetes. Considerons, par exemple, Jupiter et I'un de ses quatre satellites; nous designerons par w, la masse de ce satellite et par r, sa distance au centre de Jupiter. On deduira des deux premieres lois de Kepler concernant le mouvement relatif de ce satellite que, dans chacune de ses positions, il est soumis a Taction d'une force R, di- rigee vers le centre de la planete et ayant pour expression

On demontrera I'existence d'une force analogue pour cliacun des trois autres

32

(JIAPITRE I.

satellites, et, en partant de la troisieme loi de Kepler, on prouvera que pi, est le meme pour les satellites. VoilJi done le centre de Jupiter qui est le siege d*une force analogue a celle que nous avons reconnue dans le Soleil; les deux forces suivent la meme loi : il n'y a de difference que pour les constantes pi et pii.

On pent en dire autant de toutes les planetes qui ont plus d'un satellite, savoir de Mars, de Saturne et d'Uranus; pour les planetes qui n'ont qu'un satellite, la Terre et Neptune, on ne pent appliquer que les deux premieres lois de Kepler. On dcmontrera done seulement que le satellite, dans chacune de ses positions, est soumis a Taction d'une force R, dirigee vers le centre de la ptanete et avant pour expression

Si Texcentricite de Torbite du satellite etait tres forte, r, varierait dans des li- mites tres etendues, et il serait bien demontre que la planMe exerce une attrac- tion variant en raison inverse du carre de la distance; mais, si I'excentricite est petite, et c'est le cas, les deux premieres lois de Kepler ne permettraient guere de trouver la loi de variation de la force; elles prouveraient seulement son exis- tence et permettraient de calculer son intensite moyenne. II convient ici de faire une remarque au sujet des mouvements des satellites.

Soient {fig. 2) S le Soleil, P Jupiter, M Tun do ses satellites : le rapport -p^

Fig. 1.

etant tres petit, les droites PS et MS peuvent etre considerees sensiblement

comme egales et paralleles. La force R = -;^> emanant du centre du Soleil, doit

s'exercer sur P et sur M. D'apres ce qu'on vient de dire sur les droites PS et MS, les forces PA et MB, appliquees respectivement a Tunite de masse de P et a Tunite de masse de M, pourront etre considerees comme sensiblement egales et paralleles; ces forces auront done seulement pour effet d'imprimer un mouve- ment de translation au systeme forme par Jupiter et ses satellites. D'apres le principe des mouvements relatifs, les mouvements des satellites autour de la planete seront done a peu pres les memes que si la planete etait immobile.

Considerons actuellement la Terre et son satellite unique, la Lune; les deux premieres lois de Kepler etant verifiees, il en resulte que, dans chacune de ses positions, la Lune est sollicitee par une force R avant pour expression

LOl I)E LA GRAVITATION UXIVEUSELLE. 33

et dirigee vers le centre de la Terre. L'excenlricitc de Torbite de la Lunc etant assez petite, on peut ne considerer que la valeur movenne de R, et y faire r, = ai ; on aura ainsi

L'acceleration moyenne correspondante a cette force sera

evaluons-la en prenant pour unite de longueur le metre et pour unite de temps la seconde sexagesimale de temps moyen ; soit p le rayon de la Terre supposee spherique. On a, a fort peu pres, pour la distance moyenne de la Lune a la Terre,

on a du reste

2 TTp := 4o ^OO 000"».

Enfin, la duree de la revolution siderale de la Lune est

Tj =r 27i 7»> 43'" = 39 343» = 39 343 X 6o' ;

on trouvera ainsi

4 TT^ X 60 X 4o ^00 000 _

?i ~ /<> 0/9 a-^T =0^,002706.

^ 271 X (39343 X 60)' '

Nous sommes evidemment portes a admettre que la Terre exercerait son at- traction sur tout autre corps que la Lune et que cette force suivrait la loi de la raison inverse du carre de la distance. Demandons-nous ce qu'elle serait a la surface meme de la Terre, c'est-a-dire a une [distance du centre de la Terre

soixante fois plus petite que dans le cas de la Lune; Tattraction sera 60 fois plus

grande et Tacceleration correspondante sera egale a o™, 002706 x Go = 9",74- Or Tacceleration moyenne de la pesanteur a la surface de la Terre est g = 9*", 82, nombre tres peu different du precedent. Lorsqu'on tient compte de plusieurs causes secondaires que nous avons laissees de cote pour simplifier, on trouve entre les deux nombres une identite absolue.

Que faut-il en conclure? Evidemment que lajorce qui retient la Lune dans son orbite n^est autre chose que la pesanteur terrestre affaihlie en raison inverse du carre de la distance.

Ainsi la loi de la diminution de la pesanteur qui, pour les planetes accompa-

gnees de plusieurs satellites, est prouvee par la comparaison des durees de

leurs revolutions et de leurs distances, se trouve demontree, dans le cas de la T. — L 5

32

r.HAPITRE I.

satellites, et, en partant de la troisieme loi de Kepler, on prouvera que (x, est le meme pour les satellites. Voila done le centre de Jupiter qui est le siege d'une force analogue a celle que nous avons reconnue dans le Soleil ; les deux forces suivent la meme loi : il n'y a de difference que pour les constantes [x et [jL| .

On pent en dire autant de toutes les planetes qui ont plus d'un satellite, savoir de Mars, de Saturne et d'Uranus; pour les planetes qui n'ont qu'un satellite, la Terre et Neptune, on ne pent appliquer que les deux premieres lois de Kepler. On demontrera done seulement que le satellite, dans chacune de ses positions, est soumis a Taction d'une force R, dirigee vers le centre de la planete et ayant pour expression

Si Texcentricite de Torbite du satellite etait tres forte, r^ varierait dans des li- mites tres etendues, et il serait bien demontre que la planete exerce une attrac- tion variant en raison inverse du carre de la distance; mais, si Texcentricite est petite, et c'est le cas, les deux premieres lois de Kepler ne permettraient guere de trouver la loi de variation de la force; elles prouveraient seulement son exis- tence et permettraient de calculer son intensite moyenne. II convient ici de faire une remarque au sujet des mouvements des satellites.

Soient (^g> 2) S le Soleil, P Jupiter, M Tun de ses satellites : le rapport -p;r

rig. :\.

etant tres petit, les droites PS et MS peuvent etre considerees sensiblement

comme egales et paralleles. La force R = — 1^> emanant du centre du Soleil, doit

s'exercer sur P et sur M. D'apres ce qu'on vient de dire sur les droites PS et MS, les forces PA et MB, appliquees respectivement a Tunite de masse de P et a Tunite de masse de M, pourront etre considerees comme sensiblement egales et paralleles; ces forces auront done seulement pour effet d'imprimer un mouve- ment de translation au systeme forme par Jupiter et ses satellites. D'apres le principe des mouvements relatifs, les mouvements des satellites autour de la planete seront done a peu pres les memes que si la planete etait immobile.

Considerons actuellement la Terre et son satellite unique, la Lune; les deux premieres lois de Kepler etant verifiees, il en resulte que, dans chacune de ses positions, la Lune est sollicitee par une force R ayant pour expression

cj 1 _ ^Ti^a] nix Pi '^i *i '1

LOl DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 33

et dirigee vers le centre de la Terre. L'excentricite de Torbite de la Lune etant assez petite, on pent ne considerer que la valour moyenne de R| et y faire r^ =zai; on aura ainsi

* 1

L'acceleration moyenne correspondante a cette force sera

9i =

i >

evaluons-la en prenant pour unite de longueur le metre et pour unite de temps la seconde sexagesimal de temps moyen ; soit p le rayon de la Terre supposee spherique. On a, a fort peu pres, pour la distance moyenne de la Lune a la Terre,

Oi =z 6op;

on a du reste

2 7:p ^= 4o ooo ooo"» .

Enfin, la duree de la revolution siderale de la Lune est

Tj 1= 27J 7»> 43"> = 39 343" = 39 343 X 60^ ;

on trouvera ainsi

4 tt' X 60 X 40000000 ^

9i — ,0 j/D ^-T?- =o"»,oo27o6.

^ 271 X (39343 X 60)* '

Nous sommcs evidemment portes a admettre que la Terre exercerait son at- traction sur tout autre corps que la Lune et que cette force suivrait la loi de la raison inverse du carre de la distance. Demandons-nous ce qu'elle serait a la surface meme de la Terre, c'est-a-dire a une [distance du centre de la Terre

soixante fois plus petite que dans le cas de la Lune; Tattraction sera 60 fois plus

grande et Tacceleration correspondante sera egale a 0^,002706 x Go = O^t 74- Or Tacceleration moyenne de la pesanteur a la surface de la Terre est g = 9", 82, nombre tres peu different du precedent. Lorsqu'on tient compte de plusieurs causes secondaires que nous avons laissees de cote pour simplifier, on trouve entre les deux nombres une identite absolue.

Que faut-il en conclure? Evidemment que lajorce qui retient la Lune dans son orbite n^est autre chose que la pesanteur terrestre affaiblie en raison inverse du carre de la distance.

Ainsi la loi de la diminution de la pesanteur qui, pour les planetes accompa-

gnees de plusieurs satellites, est prouvee par la comparaison des durees de

leurs revolutions et de leurs distances, se trouve demontree, dans le cas de la T. - L 5

34 ClIAPITUE 1.

Terre, par la comparaison du inouvemcnt de la Lune avec celui des projectiles a la surface de la Terre.

Les forces d'attraction dont le Soleil et les planetes sont le siege ne doivent plus nous paraitre aussi mysterieuses, puisque nous sommes familiarises avec Tune d'elles, la pesanteur, par Texperience journaliere.

L'analogie nous porte evidemment a admettre que les planetes qui n'ont pas de satellites, Mercure et Venus, sont douees de la meme force attractive. Nous ferons un nouveau pas en avant par la consideration suivante : le Soleil attire Jupiter et ses satellites; Jupiter attire ses satellites, cela est demontre; mais on doit admettre que I'attraction de Jupiter s'exerce a toute distance et se fait scn- tir meme sur le Soleil; ainsi, si le Soleil attire Jupiter, Jupiter aussi doit attirer le Soleil, et, d'apres le principe de Tegalite de Taction et de la reaction, ces deux forces doivent etre egales. Soient done M la masse du Soleil, m celle de Jupiter, r leur distance, (x la constante qui figure dans la loi de Tattractiou exercee par le Soleil, (jl, la constante correspondante pour Jupiter; on devra avoir

r« ~" /•*

On en conclut, en designant par f une autre constante,

ii — fii — f

M "m "~ ' fx^fM;

ainsi la valeur commune des deux attractions reciproques du Soleil et de Jupiter

est

fMm

R

r» '

les deux corps s'attirent done proportionnellement a leurs masses et en raison inverse du carre de la distance.

Nous avons fait abstraction jusqu'ici des dimensions des corps celestes que nous avons reduits a leurs centres respectifs; mais la propriete attractive ne reside pas seulement dans ces centres : elle est propre a chacune des molecules des corps consideres. On pent le prouver pour I'attraction exercee par Tun de ces corps, la Terre ; on demontre en effet que, dans le vide, tous les corps tombent avec la meme vitesse. On pout divisor un corps en un nombre quelconque de frag- ments; le poids total est egal a la somme des poids des divers fragments; chacun d'eux, abandonne a lui-meme, tombe dans le vide avec la meme vitesse que le corps primitif; la pesanteur s'exerce done sur les moindres parties des corps, et Ton doit admettre qu'il en est de meme de I'attraction d'une maniere generale. Ainsi le Soleil doit attirer toutes les molecules de chacune des planetes, de cha- cun des satellites; de meme une planete doit attirer toutes les molecules du

LOl DE L\ GUAVITATION rMVERSELLE. 35

Soleil. C'est de cette maniere que Newton a etc conduit a la loi de la gravitation universelle a laquelle souvent on donne simplement le nom de loi de Neivton :

Deux points materiels quelconques s'attirent mutuellement, proportionnellement a leurs masses et en raison inverse du carre de la distance.

Soient M et M' les deux points, m et m' leurs masses, r leur distance; le point M est soumis a Taction d'une force MA.dirigee vers le point M'; le point M', a Taction d'une force M'A' dirigee vers le point M; on a

M'.V = M\r3l^';

la constante f est Tattraction de deux unites de masse a Tunite de distance.

5. Nous allons trailer une question interessante qui so presente naturelle- ment.

La loi de Newton merite-t-elle reellement la qualification d' universelle ? Pre- side-t-ellc aux mouvements des systemes eloignes et, en particulier, aux mou- vements observes avec tant de soin depuis W, Herschel dans les etoiles doubles.

Pour se prononcer, il faut voir d'abord quelles sont les donnees precises de Tobservation; elles sont resumees dans les deux lois suivantes :

(a) Dans tous les systemes binaires, la projection du rayon vecteur menc de Tetoile principale au satellite, sur le plan tangent a la sphere celeste, decrit des aires proportionnelles aux temps.

(b) L'orbite apparente du satellite est une ellipse,

II convient d'insistcr sur ce point que Tobservation nous donne ce qui se rapporte a Torbite apparente et non pas a Torbite rcelle; c'est qu'en effet les me- sures des astronomes se rapportent a la projection du satellite sur le plan tan- gent a la sphere celeste mene par Tetoile principale; le satellite pourrait occu- per une position quelconque sur le rayon qui le joint a la Terre, en avant ou en arriere du plan tangent considere. Au point de vue strictement rigoureux, il serait impossible de determiner Torbite rdelle; il faut faire une hypothese, et la plus naturelle est d'admettre que cette orbite est plane (*); il en resulte aussi- tot que la loi des aires a lieu pour Torbite reelle, et que cette orbite est une

( * ) La loi dos aires ayant lieu pour la projection sur le plan tangent a la sphere, il en resulte quo la force rencontre la droite SO (S ddsignant la Terre, ou plutdt le Soleil, et 0 l^toile principale). On peut dire la m^me chose pour les autres 6toiles doubles; S est d'ailleurs uu point quelconque, n'ayant aucun rapport avec les points tels que 0 ; il est done tout naturel d'admettre que la force passe tou- jours par le point 0 ; la force ctant centrale, Torbite est plane.

36 CUAPITRE 1.

ellipse, puisque sa projection sur le plan tangent, qui n'est autre que I'orbite apparente, est elle-meme une ellipse; mais, dans Torbite apparente, Tetoile principale est un point quelconque; la position du plan de Torbite reelle est inconnue, et il nous est impossible de decider, par les observations usuelles, si Tetoile principale occupe reellement I'un des foyers de I'ellipsc reelle.

On demontrera imrnediatement, de la meme maniere que pour les planetes, que, dans chacune de ses positions, I'etoile satellite est soumise a Taction d'une force R dirigee vers I'etoile principale; mais il ne sera pas possible d'arriver a la connaissancc de Tintensitc de R en partant de cette unique donnee, que le satellite decrit une ellipse. Toutefois, on pent generaliser les conclusions des observations en remarquant que les ctoilcs doubles dont on connait les mouve- ments relatifs sont nombreuses; que ces mouvements sont tres differents d'un systeme binaire a un autre, pour ce qui concerne les dimensions, les excentrici- tes, etc. des ellipses, et il est naturel d'admettrc que la force R est telle qu'elle ferait decrire a un satellite quelconque une coniquc, quelles que soient, a Te- poque initiale, la position du satellite et sa vitesse, en grandeur et en direction. Nous admettrons enfin que Tintensite R de la force ne depend pas de la vitesse du satellite, mais seulement de sa position.

Soient :

Ox, Oy deux axes rectangulaires menes par I'etoile principale 0 dans le plan de

Torbite reelle; X ety les coordonnees du satellite M a Tepoque t; rla distance OM.

Les equations difTerentiellcs du mouvement de M seront

"^KF — ^r

oil R = $(u:, j) est une fonction inconnue des deux variables independantes a? et j; il s'agit de determiner cette fonction de maniere que I'orbite qui r6sulte de ces equations differentielles soit une conique, quelles que soient les valeurs

initiales ^To, r©, ^^o = (777) ' -^0= (7^) ^^^ coordonnees et des composantes de la vitesse.

Ce beau probleme a ete propose par M. J. Bertrand, dans le tome LXXXIV des Comples rendus de VAcademie des Sciences; ce meme volume renferme deux solutions completes et entieremt^nt difTerentes, dues a M. Darboux et a M. Hal- phen. Depuis, M. Darboux a developpe sa metbode dans Tunc des Notes remar- quables dont il a enricbi la Mecanique de M. Despeyrous. Nous allons reproduire

LOI DE LA GUAVITATION UNIVERSELLE. 3'J

ici la solution de M. Halphen, avec quelques modifications qui rendent peut-etre la demonstration un peu plus longue, mais lui donnent, a ce qu'il nous semble, plus d'homogeneite. Nous ferons

(6) \ ^^ ' de -^ '

u sera comme R une fonction inconnuc de x ct y; les equations difTerentielles (5) se trouveront done remplacees par le systeme suivant :

Idx , dy , dx' dy'

dt ' dt ^ ' dt dt " '

u = W{x,y).

Nous aurons dans la suite a prendre les derivees par rapport au temps de fonc- tions des quatre quantites x,y, x\y\ nous les calculerons par la formule sui- vante, qui se deduit immediatement des equations (A)

(7) dt^^''^y^''^y^-''Tx^yTy'^''\'':6^^yj^)'^^

dans le cas ou la fonction F ne contient que a?, cela se r^duit a

Lemme. — Trouver V equation differentielle commune a toutes les coniques. L'equation generale des coniques est

(8) A.r«4-2Bjr7 4-Cj*-i-2Fj7 4-2G7-f-H=:o;

elle definit J en fonction de x et de cinq constantes arbitraires. Prenons x pour variable independante et differentions cinq fois de suite, nous trouverons, en designant les derivees par la notation de Lagrange,

Cyy' -+- B {xy' 4- /) 4- A j? 4- Gy' -+- F = o,

C(7y 4-y*) H-B(a:/-'H-2/) +A -\- Gf = o,

(9) {^{yy^-^^y'/) -^B^xy^-^Zy") 4-G7"' =0, C(7/^-h 4//^-+- 3y«) + B {x/^-^ 4/") 4- G/^ =. o, C(77^ 4- 5//^-hio/7«') + R{xy^ -f- 5/^) 4- Gy^ = o.

38

CIIAPITRE I.

li reste a elimincr entre les six equations (8) et (9) ios cinq quantit^s -n

y •

G

jj ; les trois dernieres des equations (9) contiennent seulement, et sous forme bo-

mogene, les trois quantites B, G, G; on aura done le resultat de relimination en egalant a zero le determinant

yy"" -+-.'>.>•'/'' 4-10 vv

.t^y"' -^ ^y' y

xy

xf

IV

h'

i/<V

5^iv ^,v

On trouve aisement, en partant des proprietes elcmentaires des determinants, que A se reduit a

o 3 r" y"

\-

I or"}''"

" f"

(\y

W r'^

en supprimant le facteury et revenant a la notation differentielle, il vient

(B)

(d}y\d^y d\Y cPy d^y fd'yV^

L'ordonnee d'une eonique quelconque verifie cette equation, et, reciproque- ment, toute fonction de x qui y satisfait pourra etre consideree comme Tordon- nee d'un point quelconque d'une eonique donta? seraitTabscisse.

II faut maintenant considerer Tune quelconque des trajectoires qui resultent des equations (A), regarder j' comme une fonction de x, former les derivees

Tf^' ••> -T-^> et les substituer dans la relation (B).

On a d'abord, en tenant compte des formules (A) et(7),

.r

dx dx^

t*'

x' li y — y' u x

.1

.li

ou bien

(10)

•"'"£-'=(<^'--^'^)'''

Remarquons que, d'apres la loi des aires, le binome x y — y'x est constant; en ayant egard a cette remarque et aux formules (7) et (7'), on deduira aise- ment de la formule (10), diflerentiee plusieurs fois par rapport au temps, les

LOl DE LA GKAVITATION I'MVKRSELLK. 3c)

formules suivantes :

o^'^-y^ ^={x'y —yx) (^"-JT — 10 u jcx' --J 3w'j7'*-h i5//'a:' j,

(") \

-t- --7-(io5w'x*»r'— iC/^o?'*) -h 45i/'j?J?'* — io5//*»r' I .

Portons ces valeurs (lo) et (ii) dans ['equation (B); nous apercevons dc suite le facteur commun ^'^^ ,^{ ^ ; suppriinons-le et eflectuons les calculs; il y aura, apres les reductions, encore un facteur a?'^, et il restera seulemcnt

Cette equation se simpliiie notablement en posant

_3

(l3) UZ=Li\

w sera, comme w, une fonction de x ^ij\ on trouve sans difiiculte que I'equa- tion (12) devient simplement

II nous reste a calculer -^ et -^; en ayant egard aux formules

da:' -5 dy' -J

c?^ ' dt ^

on trouve

d^iv

4o CHAPITRE I.

en portant ces deux derivees dans I'equation (C), il vient

dx^ "^ dx^dy -^ dx dy ^ dy

1 3 , -fr / dUv dUy\ divf d^v d^vVX

(D) \ -^-^'- \^'^\'^T^-^yd:Fd^)''Tx\^Tx-^yiJ')\

Ccttc equation doit avoir lieu quel que soit /, et en particulier pour / = o, au- quel cas, comme on I'a vu, x, y, x\ y peuvent etre quatre quantites quel- conques, independantes les unes des autres. L'equation (D) donnera done les six equations suivantes :

(i5) <; J/ \ jy

"iW

^dy'^^dTdJ'J-^d^V'l^-^^dy)^'''

Les formules (i4) montrent qu'en designant par a, b, c, /, g, h six con- stantes arbitraires, w est de la forme

(E) w=:ax*-^ ibxy -\- c/' -+- ifx -\- 2gy -h h.

Substituons cette expression dans les relations (i5), et nous trouverons, apres reduction,

(bf - ag) xy^(c/ - bg)y^-h (/* — ah) x -+- (/^— bh)y = o, (bg— c/)xy'h{ag-- bf)x^-\-(fg—bh)x-^(g^ — ch)y=io.

Ces deux equations devant avoir lieu quels que soient x et j, on en conclut

(i6)

^g — bf — o, bg — cf —o\

[ /*-a/i = o, (17) \ g^ —ch =0,

\/g-bh = o.

On tire des formules (17)

/h{ag — b/) = o, gh{bg — cf) = o;

si done aucune des quantites/, g, h n'est nulle, les relations (iG) sent une con- sequence de (17), et il suffit de verifier ces dernieres.

LOI I)E LA GRAVITATIOX IMVERSELLE. 4 1

Or I'equation (E) donnc ce qui, a cause des formules (17), se reduit a

h

Les formules (6) et (i3) donncnt ensuite

(F,) R, izzmA* '*

(A-^/^v-f /*)''

e'est une premiere ioi pour la force chercliee; quelles que soient les quantites /, g^ A, k trajectoire sera une conique.

Supposons maintenant A = o; les formules (17) entrainent /= o, ^=0; elles sont alors verifiees, ainsi que les relations (16); on a done

(r :=.ax*-^'xb xy -\- Cf^^

(F,) R, = m j;

{ax^-h 2bxjr-i- cy^y

c'est une autre Ioi de la force; les constantos a, i, c peuvent etre quelconques. Dans le cas oil /= o, (16) et (17) donnent

ag =: bg — ah = bh = 0, ^' = ch,

d'oii

a =z b =z o]

en portant dans la formule (18), il vient

b

la valeur correspondante de R s'obtient done en faisant /= o dans la for- mule (F|). Ainsi il y a deux lois de forces, et rien que deux, qui repondent ii la question; mais les forces R, etRj contiennent non seulementr, mais encore

Tangle polaire 0 = arc tang--

Si Ton veut que ces forces ne dependent que de r, ce qu'il est naturcl d'ad- mettre, on devra faire, dans (F, ), /= ^ ~ o, et, dans (F2), a = c oi b = 0; on T. - I. 6

42

trouve ainsi

CHA	.pr	TRE I.
Ri	—	mixr,
R,		mix

La premiere de ces lois est incompatible avec les observations, car, si elle avail lieu, Ic satellite decrirait toujours une ellipse ayant pour centre Tetoile princi- pal, et cette propriete se conscrverait dans Torbite apparente; or les observa-

mix

la loi de Newton.

tions montrent qu'en general cela n'a pas lieu; il ne reste done que Rj = -r- ou

Conclusion au point de vue de VAstronomie. — On voit par ce qui precede qu'il est impossible de conclure d'une facon rigoureuse que la loi de Newton preside aux mouvements des etoiles doubles; toutefois, cela est tres vraisemblable, puisque les autres forces qui pourraient expliquer les mouvements observes se- raient telles, qu'a des distances egales une meme etoile exercerait sur des masses egales des attractions variables suivant les diverses directions.

Remarque, — Dans les Additions a la Connaissance des Temps de iSSa se trouve un Memoire de M. Yvon Villarceau ayant pour titre : Dii mouvement des etoiles doubles j considere comme propre ajournir la preuve de I' universalite des lois de la gravitation planetaire .

M. Villarceau s'etait demande deja si la force qui produit les mouvements observes dans les etoiles doubles rentre necessairement dans la loi de Newton; il avait vu que d'autres forces centrales, dependant des deux coordonnees du satellite, peuvent lui faire decrire une ellipse autour de I'etoile principale; mais il avait laisse subsister dans Texpression de la force les parametres qui figurent dans I'equation de Tellipse consideree, et n'avait pu ainsi s'elever aux deux lois generales exprimees par les formules (F,) et (Fj).

Dans un Travail insere au tome XXXIX des Monthly Notices of the Royal astronomical Society, M. Glaisbera fait observer, a I'occasion des beaux resui- tats obtenus par MM. Darboux et Halpben, que Newton avait montre (Pnncipes,

Fig. 3.

Livrcl, scoliedela Proposition XVII) que, si une ellipse E(y?^. 3) est decritepar un mobile M sous Taction d'une force S proportionnelle a la distance et dirigee

LOl DE LA GRAVITATIOX UXIVEUSELLE. 4 3

constamment vers le centre C de ecttc ellipse, ellc peut etre decrile aussi sous raction d'une autre force R dirigee constamment vers un point fixe 0 choisi a volonte, pourvu qu'entre les intensites R et S on ait toujours la relation

S _ OM . CM

G designant le point oil la tangente MT est rcncontrce par le rayon CG parallele a OM; on a, par hypothese,

S=::fX.CM;

il en resulte done

i^^'^-omQ'-

M. Glaisher montre gcometriquement, et Ton peut le faire par un calcul des

plus simples, que j^ est une fonction du premier degre des coordonnees rec-

tangulaires du point M ; on voit done que la force R qui resulte de la remarque de Newton rentre dans la formule (F|).

Enfin, M. Glaisher rappelle que W, Hamilton avait prouve que, si un mobile est attire vers un point fixe par une force qui soit directement proportionnelle a la distance comptee du point fixe et inversement proportionnelle au cube de la distance du mobile a un plan fixe, ce mobile decrira toujours une conique; c'est en quelque sorte la reciproque du theoreme qui resulte de la remarque de Newton.

II est inutile d'insister sur la difi*erence de ces resultats, et de la reponse generale donnee par MM. Darboux et Halphen an probleme nouveau propose parM. Bertrand.

6. On vient de voir qu'on peut trouver Texpression de la force capable de produire les mouvements des planetes, quand, au lieu de se donner les trois lois de Kepler completes, on n'en regarde qu'une partie comme demontree par Tobservation.

M. Bertrand a ete plus loin dans cette voie (Comptes rendus de r Academic des Sciences, t. LXXVII, 1873) en resolvant le probleme suivant :

On considere une planete attiree par le Soleil suivant une force donl Vintensite ne depend que de la distance. On suppose connu ce seul fait : que la planete decrit une courbe fermee^ quelles que soient a I'epoque initiale la position de la planete et sa vitesse, en grandeur et en direction. On demande de trouver la loi d' attraction d'apres cette seule donnee.

II est entendu toutefois que la vitesse initiale V^ doit etre inferieure a une certaine limite.

ii CHAPITRE I.

Le mouvement s'efFectue dans un plan passant par le centre 0 du Soleil; il est produit par une force ccntrale; done la loi des aires a lieu. Soicnt r et 6 les coordonnees polaires de la planete a Tepoque /, Torigine de ces coordonnees ctant placee en 0: rcpresentons Tintensite R de la force motrice par

et par k la constante des aires; nous aurons, par une formule connue. en ayant egard a Tintegrale des forces vivos et designant par r^ la valeur initiate de r,

	^■•=^-'MW.
Nous ferons
	I I
et il viendra

= \l-2f /(r)dr.

'•7(0 = ?(-),

d'oii

** {w ■*" -') = ^'» -^ ^/'"p^--) ''-;

,r k dz

dO —

Nous poserons encore

a/ (^{z)dz=^{z),

et nous supposerons que I'axe polaire passe par le rayon vecteur initial; nous aurons ainsi

(19) 0 =^ k f -p=J=L=='

On trouvera aiseuient, par les formules ci-dessus,

(20) \\=.\mz^^'{z);

on aura enfin

(2i) k:=^ /'oVoSinrjo^

VoSinrjo

en designant par y]o Tangle que fait la vitcsse initiale avec le prolongement du rayon r^.

Si Tangle y]o est obtus, r commencera par decroitre, et z par croitre a partir

LOl DE LA GRAVITATION UMVEIISFXLK, 4 5

(le Zq; on suppose cssentiellement que la trajectoire est fermee et nc rencontre pas le Soleil; z ne croit done pas indefiniment, mais seulement jusqu'a un n^aximum p; la quantite ^ doit annuler le radical qui figure dans la formule (19). Ainsiy on a la relation

(22) vj-X'*?*-^^((3) = o.

Pour 2 >• p, le radical considere deviendrait imaginaire; z va done decroitre et repasser d'abord par les valours precedentes jusqu'a z = Zq; on voit aisement

que le rayon vecteur minimum ^1 =g sera un axe de symetrie de la courbe;

rcroitra encore au dela de r© = —> mais pasindefiniment, puisque la courbe est

supposee fermee; z decroitra done jusqu'a une valeur a qui annulera aussi le radical considere plus haut. On aura done

(23) VJ-A'«a'-+-^(a)=.o, (a<P);

le rayon vecteur maximum r^ = - sera aussi un axe de symetrie de la courbe. Soient OM, le rayon vecteur minimum r, (^g. 4), OM2 le rayon vecteur maxi-

Fig. 4.

mum Tj, 0 Tangle M1OM2; la courbe se composcra d'une serie d'arcs egaux a M, AMj.et Ton aura

(24) s=k "^^

Pour que la courbe se ferme d'elle-meme, il faut que Tangle 0 soit commensu- rable avec Tc; on devra done avoir, en designant par X le quotient de deux nombres entiers,

d'oii

— -

46 niAPlTRE I.

Celte equation dcvra avoir lieu, quelles que soient les conditions initiales; done, quelles que soient les quantites Vo etk [(cette derniere dependant des donnees initiales par la formule (21)].

Or on tire de (22) et (aS)

^0- ^rzr^f '

et, en reportaut dans (23), il vient

(.6) ..= f\... ^-i-^^r^^^^^ ., .,. ,....=e;

/

vj;((3)-P'vKa)-^*[^(P)-^(a)] + ((3«-a«)+(;5)

il faut determiner la fonction 4'(^) ^^ maniere que cette equation ait lieu quelles que soient a et p.

Remarquons d'ailleurs que le nombre fractionnaire X devra etre independant de a et p; car, s'il changeait d'une orbite a Tautre, une variation inOniment petite de a et p, ou bien des conditions initiales, apporterait un changement iini dans le nombre des arcs egaux a M| AM, dont se compose la courbe.

Posons

(27) p=:/n-e, (x^^h — e, z^nh-i-et^;

Tequation (28) devra avoir lieu quels que soient h ete; aux limites a et ^ de :; correspondront les limites — i et -h 1 de ^; nous aliens developper suivant les puissances de e, par la serie de Taylor, les quantites

les series seront convergentes si e est assez petit. Ecrivons d'abord I'equa- tion (26) comme il suit :

(28) ln= i — :^ ft

J/»P dz , V/(P-«)4.(P)_|(a

Nous negligerons c* sous le radical; p* — a^ contenant e en facteur, on pourra prendre

e^t* e^H^ e'^t''

^ ^ 1.2^ 1.2.3^ 1.2.3.4

<h{z) — 4<(«) I. \ I 1.2^ 1.2.3' I. a. 3. 4 /.

1 V » £ \ » A » O i.J.vl.i|.

LOl I)E LA GRAVITATION IXIVERSELLE, 4?

oil Ton a ecrit, pour abregcr, 'I, '|', ... au lieu de KA), '|'(^)» •••' ^^ reduisant et developpant le denominateur suivant la puissance de e, il vicnt

- 2 4 >' ^ i^ I' 48 4-' 24 ^"

La quantite placee sous le radical dc la formule (28) se reduit a

e^(i — J^*) est un facteur commun a tous les termes; on a ensuite

e = >.= ' '^

I v^v/'-"F

i <y la <\>' ^6 <\,'*

ou bien, en faisant ^ = sin$ et developpant en serie suivant les puissances de e.

It

^ . I r *r sin? he^],'' i4-sin'g he^^'"

6 I' — /14/' 24 v|;'— /i|'

I ^-^- Sinn /^'e^r 1

Or on a

/cf^zuTT, / sin|rf£ = o, / sin*^f^ = -;

s

il vient ainsi

Cette equation doit avoir lieu quels que soient e et A, en particulier quel que

48 CHAPITRE I

soil e; on en conclut

(3o) 1 =

La formule (3o) donnc, en remettant h en evidence sous les signes '^' et •^', d'oii, en designant par G une constante arbitraire,

1-1

(32) <\,'(h)r-Ch '■'■,

si Ton porte dans I'equation (3i) celte valeur de '\i'{h) et les expressions qui en resuUent pour 4'"('0» ^'i^) ^^ '\'"(^)> <*" trouve aisement

3C/ I

— ^4

d'oii ces deux valeurs

qui sont bien commensurables. La formule (82) donne ensuite ces deux valeurs de ^'(h)

et, en employant ensuite la formule (20), il vient

-J mC muL

n, 1= — r = —

t '

mC Ri = — r=:: mar.

Telles sont les deux seules lois d'attraetion qui permettent au mobile de de- crire une courbe fermee quelles que soienTt les donnees initiales (la vitesse etant cependant au-dessous d'une certaine limite); si Ton suppose Tattraction nulle a une distance infinie, il ne reste que

/WjJL

9

,.1

ou la loi de Newton, qui aurait pu etre ainsi deduite de ce seul fait conclu de Tobservation : qu'une planete quclconque decrit une courbe fermee, sans qu'on soit oblige de connaitrc la nature de celte courbe.

LOI HE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 49

7. ThSor^me de Newton. — Supposons qii'un point materiel M dc masse m soit attire vers un centre fixe 0 par une force d'intensite

(33) R = m|UL/«;

les calculs du numero precedent seront applicables en remplagant/(r) par [xr"; le rayon vecteur r restera toujours compris entre un minimum OM, =/-,=- et

un maximum OM^ = r^ = -; la courbe se composera d'une serie d'arcs egaux a M| AMa. Soit encore 0 Tangle M,OMo; on trouvera sa valeur en partant de la formule (29) et remplagant 4''(^) P^'* ^^" expression

conclue des formules (20) et (33). On aura

il viendra done

v/F+iL ^4 It- "y

-*-3).

'-/

Les formules (27) donneront d'ailleurs

on Irouvera ainsi (34) €

v/^

e h	(3 (3	— <x	r, - /•, . '2 -^ ^t '
+	(/,-	-i)(^	^ -+- 2)	(rt—r^
	24		V'l -+-/•,

Telle est I'expression de Tangle compris entre un rayon vecteur minimum r, et le rayon vecteur maximum suivant Tj, lorsque la force centrale est representee par la formule (33); si les donnees iniliales varient de telle fagon que la diffe- rence r^— r^ tende vers zero, on aura

(35) lim0=i--r=f

^n 4- 3

C'est dans cette relation que consiste le theoreme de Newton; on voit qu'il se rapporte a une orbite presque circulaire decrite sous Tinfluence d'une force centrale proportionnelle a une puissance de la distance.

Pour les mouvements des planctes autour du Soleil, on a /^ = — 2, R = ^j

et la relation 0 = ir est rigoureuse; mais on pent se demander ce qui arriverait

si Ton modifiait d'une Ires petite quantite Texposant — 2 de la loi d'attraction ;

T. - 1. 7

JO CHAPITRE I. — LOl 1)E LA GRAVITATION UMVERSFXLE.

si Ton supposait p.ir exemple n ^ — 2,001, il on resuUerait

On voit (lone que, si I'cxposant do la loi d'attraction differait de 2 seulement de (),()() f, Tangle forme par deux rayons vccteurs maxinia et minima consecutifs de Torhite d'une planele diflererait de 180® de plus de 5'. Nous supposerons Tor- l)i(e pen excentrique; le second torme de la formule (34) est tres petit a cause des facteurs (r^ — r,)^ el /i -f- 2 = 0,001, de sorte qu'on pent employer la for- mule (35). I/orhile se composanl d'une infinite de parties identiques a celle qui est comprise entre un rayon vecteur maximum et le rayon vecleur minimum suivant, on voit que le point le plus rapproche du Soleil, le perihelie (Jig* 5),

Fig. T).

M,AB - i8o% M,AC - i8o%

BSM, =. 5' 34"; M.SM,= io'48\

se deplacerait a cliaque revolution de 10' 48*, c'est-a-dire d'une quantite consi- derable et tout a fait incompatible avec les observations. La fixite des perihelies planetaires prouverait done a elle seule que, si I'attraction solaire est de la

forme -~> on doit avoir n — 2.

Les resultats precedents sont dus a Newton (Pnncipes, Livre I, Prop. XLV).

Remanjue. — Le terme en (^~^ ) disparait de la formule (34) pour n = i

et /I — — 2; il en serait de meme des termes suivants en (^*~"^M > \'~^] >•••; car, pour /I = i, Tattraction est proportionnelle a la distance, la trajectoire est une ellipse ayant pour centre le centre d'attraction; on a done toujours 0 =->

quel que soit le rapport -*~"--- ; c est bien aquoisereduitalors Pexpression ^ .1 -

Pour /I — — 2, cette meme expression est egale a t: ; la trajectoire est une ellipse ayant Tun de ses foyers au centre tlxe, et Ton doit avoir 0 = ?:, quel que soit —

r.— r.

r*-hr,

CllAPITRE 11. — GENERALITES SUR L* ATTRACTION. J I

CHAPITRE II.

GENERALITES SUR L ATTRACTION. - ATTRACTlOiN DES COUCHES SPHERIQUES.

ATTRACTION D'UN CORPS SUR UN POINT ELOIGN^.

8. Newton a donne a sa loi unc generalite que n'exigeaient pas les lois de Kepler. 11 en resulte que les planetes ne peuvent plus se mouvoir dans des ellipses, obligees qu'elles sont d'obeir, non seulemenl a rattraetion du Soleil, mais encore aux attractions des autres planetes, c'est-a-dire a des forces nom- breuses, complexes et variables a chaque instant. Les lois de Kepler cesseront done d'etre verifiees rigoureusement; elles ne representeront plus qu'une pre- miere approximation des mouvements.

II faut maintenant prendre la loi de Newton comme point de depart et en deduire par TAnalyse les mouvements des corps celestes; on aura cnsuite a com- parer les resultats du calcul a ceux de I'observation.

Nous ferons une premiere simplification en nous bornant a considerer seu- lement les corps qui composent notre systeme planctaire, et laissant de cote les etoiles. Les distances des etoiles au Soleil sont tres grandes par rapport aux dimensions du systeme solaire; ainsi Tetoile la plus rapprochee est environ 7000 fois plus eloignee du Soleil que ne Test Neptune. Dans ces conditions, les attractions provenant des etoiles, avec les donnees admissibles sur leurs masses, pourront modifier un pen le mouvement de translation du systeme solaire dans Tespace, mais ne derangeront pas d'une fagon appreciable les mouvements rela- tifs dans I'interieur du systeme, et ce sont ces mouvements qui nous interessenl.

Considerons Tun des corps de notre systeme; nous pouvons decomposer son mouvement en deux autres : le mouvement de son centre de gravite et le mou- vement du corps autour de son centre de gravite. De la les deux principaux pro- blemes de la Mecaniquc celeste :

1® Determiner les mouvements des centres de gravite des corps celestes;

52 CHAPITRE 11.

2" Determiner les mouvemenls des corps celestes autour de leurs centres de grante.

Nous commencerons par le premier probleme, qui fera Tobjet du tome I de cet Ouvrage; la solution du second ne sera donncc que dans le tome II. Nous nous appuierons sur le theoreme du mouvement du centre de gravite :

Les equations differentielles du mou^'cment du centre de gravite d'un systeme sont les memes que si toute sa masse y etait concentric et si toutes les forces qui agissent sur les divers points du systeme y etaient transportees parallelement d elles-mSmes.

Soient A et A, {fig. G) deux des corps celestes, M un element de masse determine du premier, M,, M',, ... les elements de masse du second; le point M

Fig. ().

sera soumis a Taction de forces connues dirigees suivant les droites MM<, MM',, .... II faudra d'abord trouver la resultante MR de toutes ces forces, puis determiner la resultante generale des forces MR qui correspondent a tous les elements M du corps A, toutes ces forces etant transportees parallelement a elles-memes au centre de gravite G de ce corps.

On voit done que la premiere question qui se presente est la determination de I'attraction d'un corps sur un point exterieur; on est amene tout naturel- lement a considercr en particulier le cas oil ce corps est spherique et homo- gene, ou compose de couches spheriques concentriques homogenes; on y est conduit par Tobservation qui nous montre les corps celestes sous des figures peu differentes de la sphere, et par I'hypothese de la fluidite primitive.

9. Soient A {fig. 7) un corps donton veut calculer I'attraction R sur un point

Fig. 7-

N(x,y,«)

exterieur N, dm rclement de masse qui correspond au point M, [x la masse

GEN^RALITtS SUR l' ATTRACTION. 53

du point N, u la distance MN; Telement M exerce sur le point N une attrac- tion NB dirigee suivant NM et ayant pour intensile

f fjL dm

w*

II faut trouver la resultante de toutcs les forces, telles que NB, appliquees au point N, quand Telement M parcourt toute la masse du corps A.

Pour y arriver, prenons trois axes de coordonnees rectangulaires Ox^ Oj, Oz ; designons par x^ j, z les coordonnees du point N, par a, 6, c celles du point M, par p la densite du corps au point M, enfin par X, Y, Z les composantes paral- leles aux axes de I'attraction cherchee R. Decomposons la force NB en trois autres paralleles aux axes; elles auront pour expressions, en grandeur et en signe«

« dm a — X - dm b — y . dm c — z ^ u} u ^ ir u ^ u* u

On pent maintenant faire la somme algebrique de toutes les composantes pa- ralleles a 0^, et de meme pour les deux autres axes. On trouve ainsi

X = f^J ——dm, Y=-ri^f^dm,

(0 ( rc—z

oil

En remplagant dm par pdadbdc, on peut ecrire aussi

X=ffxJ J J ^-^pdadbdc, {!') K^fixJfJ^^pdadbdc,

Z z={y.jj j ^J^pdadbdc.

On doit supposer que p est une fonction connue de a, 6, c, F(a, 6, c) ; dans les formules (i'), les integrations s'etendent a toute la masse du corps A.

On est done ramene au calcul de trois integrates triples.

On peut faire dependre la determination de X, Y, Z de celle d'uneseule inte- grale triple. Posons, en effet,

54 CIIAPITRE U.

OU

J J J " J J J \f{ci - xY-\- {b - yY-^ {c ^ zy

les integrations s'etendant a toute la masse du corps A ; on voit que V sera fina- lement une fonction de x, y^ z\ c'est ce que Ton nomme hjonction potentielle OU simplement le polentiel relatif a Taltraction du corps A sur le point M(ir, J, :;). La formule (2) montre que le potentiel represente la somme des elements de masse du corps diviscs par leurs distances au point attire.

Nous supposerons essentiellement ici (*) que le point N est exterieur au corps OU plutot qu'il ne fait pas partie de la masse du corps; dans ces condi- tions, les elements differentiels, dans les formules (i') et (2'), sont toujours finis; X, Y, Z et V sont des fonctions continues et finies de x^ y, z. Cherchons la derivee partielle de V par rapport a x. Dans la formule (2'), Telement diffe- rentiel reste toujours fini; les limites des integrations sont independantes

de x; on pent differentier sous le signe j j j ; on trouve ainsi

J J J dx

(3) —-^flJ -^pdadbdc.

Or on a

I/* — (a? — 6r)*-h (j — ^)*-l- {z — c)*,

d'oii

It \ a.u^ X — a

dx 2u^ dx u^ ^

Tequation (3) donnera done

dV

dx

=J J J ^3— P d^ d^ d^'

En comparant avec (i'), on obtient la premiere des trois formules suivantes :

(4) ^=^^d^' ^^^^dy' ^^^^d^'

II suffira done de determiner la fonction V pour que X, Y, Z, et par suite Tattraction R, soient connus en grandeur et en direction.

Designons par r le rayon vecteur ON menc de I'origine 0 des coordonnees au point attire N, par P la projection de la resultante R sur la direction ON, comptee positivement dans le sens ON et negativement dans le sens contraire.

( 1 ) Une thdorie plus complete du potenlicl sera donndo dans le tome II de cet Ouvrage.

GENERALITES SUR l'aTTRACTION. 55

On peut appliquer la premiere des equations (4) en supposant que, pour un moment, Taxe des x coincide avec ON; on trouve ainsi la formule

(5) ^ = ^^^>

la signification de la derivee -r^ est la suivante : soient, sur le prolongement

de ON, N'un point infiniment voisin deN, NN'= Sr, V-f-SVla valeur dupotentiel pour le point N'; on aura

or or

d'\ d^y d^y

10. Equation de Laplace. — Calculous Texpression ^— j- -h -y-j 4- -^ en

partantde la formule (2'). Nous pourronsdifleren tier deux fois sous lesigne / / / ; nous trouverons done

dx

p da db dc ;

or on a

u u^ I ^x — a .T — a

dj7* dx u^ u* u

d'oii

d^l d^l d^L

dj?* (J^* (75* W' U^ ^ / ^./ /J w' W*

On a done, pour toutes les valeurs de x,y, z qui repondent a des points ne fai- sant pas partie du corps atlirant, I'equation remarquable

d«V d^y d»V

qui a ete decouverte par Laplace.

11. Attraction des couches sphSriques homog^nes. — Considerons une couche spherique homogene d'epaisseur finie et cherchons son attraction sur un point N ne faisant pas partie de la couche, situe soit a I'exterieur, soit dans rinterieur de cette couche.

Prenons le centre 0 de la couche pour origine des axes; il est evident a priori que le polentiel V ne doit dependre que de la distance rdu point N au point 0; d'ailleurs la fonction V doit verifier identiquement Tequation (G). On aura

56			CHAPITRE	11.
les formules	suivantes;	• • dr dx ~	X — — >	-8
		dx	dW dr dr dx	dV dr	X - > r
		d^\ dx^ ~	_ d^\ /xV " dr* \r )	1	dV 1 dr \

Ajoutons cette expression cle -.-, aux expressions analogues de -j-j et -^^> et portons dans (6); nous trouverons

ou bien

d^y ldV_

dr* r dr

d*y dV

dr* dr

ou encore

d*\r

dr*

=1 o.

On en tire, en designant par A et B deux constantes arbitraires,

V/=:A-hBr, (7) V=^4-B.

Determination des constantes . — Supposons d'abord le point N place dans Tin- terieur de la couche; on devra avoir A = o, sans quoi la formule (7) donnerait V = ao pour r=o, c'est-a-dire pour le centre de la couche, ce qui est impos- sible, V restant evidemment fini par sa definition meme. On aura done, pour tons les points situes a Tinlerieur de la couche,

V=:B ~ const.,

d'ou

dV dV dV

— =o, ^r-.o, — = 0,

X = o, Y=iO, Z=:o.

On a done ce theoreme du a Newton :

Une couche spheriqiie homogene nexerce pas d* action sur les points de son inie- rieur.

GENERALITES SUR l' ATTRACTION. 67

Supposons, en second lieu, le point N exterieur a la couche : soit r, le rayon exterieurde la couche; la plus petite valeur de u est r — r^ et la plus grande r-f- r, ; on pourra done ecrire, en designant par M la masse de la couche,

ou bien

/dm rdm r dm

r-\-t\ J ~u J r~^^

/dm < / — < / dm

OU encore

(8) ^<y< ^

r -+- r, r — r.

Si le point N s'eloigne indefiniment, rtend vers I'infini; V reste toujours com- pris entre deux quantites qui se rapprochent indefiniment de zero; done V tend vers zero. Si, dans la formule (7), on fait r= 00, V = o, il vient B = o; il en resulte

r

portons cette valeur de V dans les inegalites (8), et nous aurons

** <A< ^

/• r

Si nous faisons tendre r vers Tinfini, nous voyons que A reste compris entre deux quantites qui tendent vers M; done A = M, et Ton a, pour tons les points exterieurs a la couche,

la formule (5) donne ensuite

'■ — ..1

P designe la projection de Tattraction R sur la direction ON; or, par raison de symetrie, Tattraction est dirigee suivant la droite NO. On a done

R=-P

et, par suite,

T. - I. 8

58 CIIAPITRE II.

cette attraction est egale a cclle qu'exercerait sur le point N un point materiel do masse M place en 0. De la ce second thcoreme, du egalement a Newton :

Unc couche spheriquc homogene attire les points exterieurs comme si ioute sa masse etait reunie a son centre.

Ce resultat a encore lieu pour un corps forme de couches spheriques concen- triques homogenes, d'epaisseurs quelconques, finies ou infiniment petites, la densite de chaque couche variant d'une maniere quelconque, du centre du corps a sa peripherie; ear le thcoreme est vrai pour chacune des couches.

Ainsi le Soleil, les planetes et leurs satellites pouvant etre consideres sensi- blcment comme des corps de la nature supposee ci-dessus, lis attirent k fort peu pres les points exterieurs comme si I'on supposait leurs masses reunies a leurs centres de gravite respectifs.

Si nous nous reportons a lay?g^. 6, n** 8, en supposant les deux corps com- poses de couches spheriques concentriques homogenes, et si nous designons par M| la masse du corps A,, par G, son centre de gravite, par dm la masse de Tele- mentM, par A la distance MG,, la resultante des attractions exercees sur M par tons les elements du corps A, sera une force MR dirigee suivant la droite MG|, ayant pour intensite

,,-j f Mi d/n _ fMi dm

Mu ~ _— , — — Ti— ; on aura (/ig. 8) des forces analogues appliquees aux elements M', M", ...,

11 faudra maintenant transporter toutes ces forces parallelement a elles-memes au point G, centre de gravite de A, et prendre leur resultante. On peut les

Fig. 8.

transporter d'abord au point G, par lequel passent toutes leurs directions; on yoit que leur resultante ^ sera egale et opposee a la resultante des attractions exercees sur un point materiel de masse M, place en G< par tous les elements du corps A; d'apres le second theoreme de Newton, cette resultante est dirigee

GENERALITES SUR l' ATTRACTION. Sq

suivant la droite G,G et a pour intensite

fMM,

(9) ^ =

(.G,

Nous arrivons done a cette conclusion que, si Ton transporte au point G, paral- lelement a elles-memes, toutes les attractions exercees sur les divers elements de A par les divers elements de A,, la resultante ^ sera dirigee suivant la droite GG, et aura une intensite determinee par la formule (9).

Si done la figure et la constitution des corps A, A,, A^, ... etaient celles qu'on a supposees plus liaut, on pourrait faire abstraction des dimensions de ces corps et les remplacer par des points materiels G, G,, Gj, ..., de masses M, M<, Ma, ..., s'attirant mutuellement suivant la loi de Newton; et, pour avoir les equations diflerentielles des mouvements des centres de gravite des corps consi- deres, il suffirait d'ecrire les equations differentielles des mouvements d'autant de points materiels de masses donnees, soumis a leurs attractions mutuelles s'exerQant conformement a la loi de Newton.

On formera ces equations differentielles dans le Chapitre suivant.

Mais, en realitc, les corps celestes ne sont pas rigoureusement spheriques; bien que les observations n'aient pu nous reveler encore un aplatissement sen- sible dans le Soleil ni dans un certain nombre de planetes, la Geodesic nous a appris a mesurer Taplatissement de la Terre; il suftit de regarder Jupiter et Saturne dans une lunette, sans faire aucune mesure, pour voir que ces corps s'eloignent notablement de la forme spherique.

La reduction des corps celestes a leurs centres de gravite respectifs n'est done qu'une approximation; fort heureusement, une circonstance particuliere rend cette approximation tres voisine de la realite; cette circonstance est que les dimensions des corps celestes sont tres petites par rapport aux distances qui les separent les uns des autres; nous aliens developper ce point dans Particle suivant.

12. Attraction d'un corps sur un point 61oign6. — Soit le corj)s A (^g. 9)

Fig- 9-

dont on cherche I'attraction sur un point materiel N dont la distance GN — rau

I

60 CHAPITRE II.

centre de gravite G est tres grande par rapport aux dimensions du corps. Nous prendrons le point G pour origine dcs coordonnees et nous ferons passer I'axe GX par le point N; designons par M Tun quelconque dm des elements de masse du corps, par a, 6, c ses coordonnees, par r' la distance GM, par u la dis- tance MN et enfin par V le potentiel relatif a Tattraction du corps sur le point N. Nous aurons

M« = (r — a)*4- ^'-+- c*,

//* = r* — QLar -\- /•'*,

I 1 / lar — r'^\

II r\ r' /

D'apres Thypothese, quel que soit le point M a Tint^rieur ou sur la surface du

r'

corps A, le rapport - est tres petit, et il en est de meme, a fortiori, du rap- port -; nous allons considerer - (ti - commc de petites quantites du premier ordre suivant les puissances desquelles nous developperons I'expression de - donnee ci-dessus. Nous trouverons aisement, en negligeant le troisieme ordre,

I I / a Za'^—r'^ \

u r\ r 2 r' /

d'oii, en multipliant par ^/n et integrant pour tons les points du corps A,

V= - I dm-}--^ I adm-\- -^ / (3a«— r'^)dm -\-

Or, si M designe la masse du corps, on a

/ dm = M ;

puisque I'origine des coordonnees coincide avec le centre de gravite, on a aussi

1 a dm =. o ,

et il en resulte

Gto^RALITte SUR l' ATTRACTION. 6 1

ou encore, en remplagant a^ par r'^ — (6* h- c^),

Designons par I le moment d'inertie du corps par rapport a la droite GN et par A, B, C les moments d'inertie principaux de ce corps relatifs a son centre de gravite G; on a, comme on le voit aisement,

/

d'ailleurs

A-hBh-C

r * dm ^=:

f(b^-^c*)dm = l:

la formule (lo) donnera done

., M A4-B-i-C — 31

(ll) V= 1 r h

Soient a, p, y les angles que fait la droite OG avec les axes principaux d'iner- tie du point G; on a, par un theoreme bien connu,

I = A cos*a 4- B cos*(3 -+- C cos*y = (A — C) cos'a 4- (B — C) cos*p 4- C; la formule (ii) pourra done s'ecrire

^__ M (A — C) (i — 3 cos*a) -f. (B — C) (i — 3 cos*P)

V — — 4 r 4- . . .

/• 2r'

OU encore, en d6signant par r[ la plus grande valeur de r' le long de la surface du corps,

,, Mr • /A — C i--3cos*a B — C i — 3 cos'fiX /r'A* I

Quand il s'agit de I'attraction d'un corps celeste sur un point trfes eloigne, la formule (i 2) se reduit a fort peu pres a V = — > a cause d'abord du petit fac-

teur(— ) > et ensuite parce que les quantites ~, ? S',^ sont pelites aussi,

car ces quantites seraient nulles si le corps considere etait compose de couches spheriques concentriques homogenes, hypothese peu cloignee de la realite. On pourra done, le plus souvent, se borner a

r

62 CHAPITRE II.

d'oii, relativemcnt a iin systemc quelconquc d'axes G^, Gy^ Gz se coupant en G, en designant par x\ y, z les coordonnees du point N relatives a ces axes.

\Jx^ -f- /* + c* ^ ax /•* \ /• /

et des expressions analogues pour Y et Z; le corps A attire done a tres peu pres le point N comme si toute sa masse M etait reunie a son centre de gravite G.

Pour 'nous faire une idee de la grandeur du coefficient de (~j dans la for-

' mule (12), supposons que le corps A soit un ellipsoide homogene de revolution autour du diametre auquel correspond le moment C et aplati suivant cetaxe; on aura, comme on sail, en designant par c' le rayon polaire et remarquant que r| = a' est le rayon equatorial,

B = A = M

a'^^c'^

5

'J

et la formule (12) donnera

ou encore, avec une precision suffisante, en supposant petit Taplatissement £ = ^ ^ de Tellipsoide,

^==7[^-^^(^-^^^^'y)(?y"^'']'

Remarque /. — Dans le cas oil Ton considere I'attraction exercee par une planete sur un point d'une autre planete, le rapport — est tres petit, et Ton pent toujours se borner a

r

Mais il n'en est plus ainsi pour Tattraction exercee par la Terre sur la Lune; ^ est environ g-; pour I'attraction de Jupiter sur son premier satellite, ~ =^;

s'il s'agit enfin de Saturne et de son premier satellite, on a ^ = v C'est done

GENERALITES SUR L^VTTRACT10N. 63

seulement dans Tetude des mouvements des satellites qu'il y aura lieu de com- pleter I'expression approchee — du potentiel.

Remarque II. — Le systeme solaire se compose de planetes isolees et de sys- temes secondaires formes chacun d'une planete ct de ses satellites; les centres de gravite de ces systemes partiels sont tres eloignes les uns des autres rela- tivement aux distances respectives des corps de chacun d'eux; si done on considere le potentiel relatif a Tattraction d'un de ces systemes sur un point tres eloigne, on pourra appliquer la formule (12) et la remplacer simplement

par V = — , a cause de la petitesse du facteur {^A \ mais cette reduction sera

moins approchee qu'elle ne Tetait dans le cas d'un des corps celestes, parce que

les quantites ,r~>^ et -tt-tf ^^ sont plus tres petites. On voit done que les

centres de gravite des planetes isolees et ceux des systemes secondaires se meuvent a fort peu pres comme si toutes leurs masses etaient reunies a leurs centres de gravite, ces divers centres s'attirant mutuellement deux a deux suivant la loi de Newton.

Nous pourrons done introduire une simplification importante et considerer le systeme solaire comme forme d'un nombre limite de points materiels de masses donnees s'attirant mutuellement suivant la loi de Newton et correspon- dant : le premier au Soleil, le deuxieme a Mercure, le troisieme a Venus, le quatrieme a I'ensemble de la Terre et de la Lune, le cinquieme a Tensemble de Mars et de ses satellites, etc.

Quand on connaitra le mouvement du centre de gravite d'un systeme secon- daire et les mouvements relatifs dans ce systeme, il sera aise d'en deduire le mouvement de la planete correspondante; ainsi la theorie generale fera con- naitre d'abord le mouvement du centre de gravite de la Terre et de la Lune; on determinera ensuite le mouvement relatif de la Lune autour de la Terre, et c'est alors seulement qu'on sera a memo de calculer completement le mou- vement de la Ten'e.

64 CHAPITRE III.

CHAPITRE III.

EQUATIONS DIFFtRENTIELLES DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITE

DES CORPS CJfiLESTES.

13. Nous pouvons maintenant, apres les simplifications precedentes, former aisement ces equations.

Prenons trois axes rectangulaires fixes 0?, Otq, 0^; soient, relativement a ces axes, $o> ^o» ^o l^s coordonnees du centre de gravite M© du Soleil dont la masse sera representee par m^; designons par $/, yj/, ^,, m, les quantites ana- logues relatives au centre de gravite M, de Tune quelconque des planetes ou au centre de gravite de cette planete et de ses satellites, Tindice i prendra les va- leurs I, 2, 3, ..., w, n designant le nombre des planetes; nous representerons d'une maniere generale par A/,y la distance des deux points M, et My. Cherchons les equations differentielles du mouvement du point Mo; ce point est soumis a Taction de n forces dirigees suivant les droitesMoM4, M0M2, ..., MoM„; la pre- miere de ces forces a pour intensite —A — -; ses projections sur les axes de coor- donnees sont egales respectivement, en grandeur et en signe, a

AJ,i ^0.1 ' Aj,i Ao.i ' a;,i Ao,,

On formera done aisement I'equation suivante

(I) ;no5l^=fmo//ii^-i=^4-f^^

et deux autres equations toutes pareilles en yj et ^. De meme,

l&QUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITE. 65

Lagrange a donne a ces equations une forme tres symetrique en introduisant la fonction

L — — T H T r • . . 4- — A

-I-

que nous ecrirons plus simplement

-t- — T >

on a du reste

(3) A?,. = (?/- ?yr-h (ti,- ti.r-h (c,- c.r.

On pent calculer les expressions des derivees partielles ^> -t^-j •••> -j>-> en partantde (2) et(3); on trouve aiseinent

<?Ao,i _ fo— 2i ^Ao,? co—?^ (?Ao,„ __fo— ?

d'oii

^^0 ^0,1 ^0,2 ^0,/»

apres quoi Tequation (1) donnera

m

' dt^ ~ dl.

On pourra done donner la forme suivante aux equations differentielles des mou vements des centres de gravite des n n- i corps consideres

'^''dF'-dV "'''di^^'Ho' '""'^dt^ -"3^:

dn,d\} dHx d\} d^Ki d[]

(«)

dnn_d\} d^n„_d\] d}ri,,_d^

T. - 1.

9

66 CHAPITRE III.

La fonction U est Hfonction des forces; il est important de remarquer qu'elle ne

contient explicitement ni le temps / ni les composantes -^> ••• desvitesses.

La determination des mouvements de M©, M,, ...» M;, depend de Tintegration du systeme {a) de 3/2-1-3 equations differentielles simultanecs du second ordre; e'est le probleme des n -h i corps, Mais il n'a ete possible jusqu*ici de faire Tintegration complete que dans le cas de /i= i; le systeme n'est alors forme que de deux corps, le Soleil et une planeto. Dans les autres cas, meme pour le idiV[iQ\x\ probleme des ttvis corps^ malgre les efforts des plus grands geo- metres, on n'a pu obtenir qu'un petit nombre d'integrales que nous allons faire connaitre.

14. Commengons par une remarque sur la fonction des forces U. On a

dn

d'oii

. ru-rir =. inii > 111 J \-^ ^

drii c);/ ^^ ' Afj

On en conclut

-^ fy dU d[]\ rVV lif^j — f\ilj

« J

si, dans les termes elementaires des seconds membres, on change i eny et inver- sement, on voit que ces termes elementaires sont egaux etde signes contraires. On en conclut done

i f

et quatre autres relations analogues que Ton obtiendrait par des permutations de lettres.

Cela pose, on tire des equations (a), en ayant egard aux formules (4),

Equations des mouvements des centres de gravity. 67

et

Occupons-nous d'abord des formules (5); on en deduit, en designant para,, i,, c,, aa, ^2, Cj six constantes arbitraires,

(7) «i ' H- <i, = 2] *"' ^••' *i ' + *i = ^ »«/ T^/. Ci < -H c, = 2] '''' ?<•'

d'oii

a, = 2 '"' ?' ~ ^ 2 *"' 7^ * (c) Ib^z^'^mffii—l^mi-j^,

= 2 '"'^'-'2

Les formules {b) et (c) sont de la forme

const. = F(^?„r„.C.; ?., ...; -^, —,-;—, ...j;

ce sont done des integrales du systeme (a); ellcs sont au nombre de six et sont connues sous le nom d'integrales du moui^ement du centre de gravity ; les formules (7) expriment en effet que le mouvement du centre de gravite des /iH- I points materiels consideres est rectiligne et uniforme.

Passons maintenant aux equations (6), multiplions-les par dt^ integrons-les et designons par a^, 63, c^ trois nouvelles constantes arbitraires; nous trou- verons

2( dX,i df\i\

« l'.=2""(=4'-^'§)>

- = 2-0'^— §)■

Ces trois nouvelles integrales sont les integrales des aires; elles expriment que la somme algebrique des aires decrites par les projections sur cliacun des plans

68 CHAPITUE III.

coordonnes des rayons menes dc Torigine au\ n -\- 1 points consideres est pro- portionnelle au temps.

Multiplions enfin les equations (a) respectivement par 2-^1 ^"5^' ^~di'

2-^> "> ajoutons-les et remarquons que la fonction U ne contenant explicite-

ment que les quantites So. ^o» ^oi Si* •••» ^" ^

dt di,, dt drio dl dXo dt dl^ dt

nous trouverons

in

0

\ dt dl^ dt dt^ dt dt* J * \ dt dt* J

d\}

dl

ou bien

dt ^ '\dt* ''" dt* ~^ dt* J"

On pent integrer apres avoir multiplie par dl, et Ton trouve, en designant par h une constante arbitraire,

e'est une nouvelle integrale, Vintegrale desjorces vives.

Les dix int^grales (i), (c), (r/), (/) sont les seules integrales rigoureuses que Ton ait pu obtenir jusqu'ici.

15. Nous aliens obtenir une formule dont Jacobi a tire des consequences inte- ressante3 {Vorlesungen iiber Dynamik von C.-G.-J. Jacobi, herausgegeben von A. Clebsch, p. 26-3o).

On deduit des equations (a) la formule suivante

or, U etant, par sa definition memc, une fonction homogenc et de degre — i des quantites ?o. tQo. ^o» 5i. •••. on a

ce qui permet d'ecrire ainsi la relation precedente

EQUATIONS DES MOCVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITY. G9

En rapprochant cette formule de I'equation (/), on en deduit

ou bien ou encore

Si Ton designe par p,- la distance dii point M, a I'origine des coordonnees, on aura done

(8) -^J^^:=.U-^4/i.

II est possible de transformer le premier membre de cette equation de ma- niere a n'y introduire que les distances mutuelles A/j des points materiels, au lieu de leurs distances a Torigine des coordonnees.

On a, en effet, ces identites bien connues et d'aillcurs faciles a verifier

^ mi ^ mi C?- (^ mt C/^ =1 ^^ m,. /Wy ( C? -h tj - 2?/ Kj) ;

en les ajoutant, on trouve

ou bien, en ayant egard a la signification de p/ et de A^j et tenant compte des equations (7),

^mij^mt p? =^^ mimjlfj 4- («,/ -h a,)*-+- (^^ + ^j)'-h (Cj^ 4- c,)«.

Tirons de la 2] ^ipl pour le porter dans la formule (8), et il viendra

, \d^j;^^mimjAlj 1

— — \-^^^jf, ^- 2(aJ+ 6jH- cJ)J := 2U + 4A,

70 CHAPITRE III.

d'oii, en designant par A' une nouvelle constanle arhitrairo,

ou bien

d^^^m.mj^l

(10) ^, = [^^2i2i-i-f-^^^')Z'''^'

II importe de remarqucr que cette equation nc contlent que les distances mutuelles des points materiels pris deux a deux et leurs derivees premieres et secondes par rapport au temps.

Si Ton nomme p] la distance du point M/ au centre de gravite du systeme, on tire aisement de Tequation (9) la formule

de telle sorte que Tequation (10) pent aussi s'ecrire

16. Les observations astronomiques ne nous font pas connaitre les mouve- ments absolus des planetes, mais seulement leurs mouvements relatifs par rap- port au Soleil; il importe done de former les equations differentielles dont de- pendent les mouvements relatifs; c'est ce qui va nous occuper maintenant.

Menons par le point Mo, centre de gravite du Soleil, trois axes Mo^r, ^l^y. Mo 5 paralleles aux axes fixes; soient, relativement a ces axes qui sont mobiles mais conservent une direction invariable, ^,, j,, :;, ; x.^, v^, z.^; ..., ^„, Vn, z^ les coordonnees des centres de gravite des n autres corps. Nous poserons en meme temps

MoMi — ri — Ao.i, MoMj — /'j = Ao.j

Enfin nous aurons les relations

L'equation (i) donnera

(.3) _^^.f,„._|+f„,,_|H.....-f„,„_-=.f2-^'

EQUATIONS DES MOIIVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITE. 7 1

La relation

Ik — ?o + ^A:

nous montre d'abord que j^a ne sera introduit que par ^a? on aura done

(l3) -^ — y.--

La meme relation nous donne

d^^'k _ d}lk _ d^ dt^ ~~ dt^ dt^

ou, en ayant egard a la formule (12),

dt^ " dt'' ^ r] '

les equations (a) nous donnent du reste, si nous tenons compte de (i3),

dt'^ nik d^k ^^k dxk

H viendra done

^ -^^ t/^« ~" nik dxk ^ rf '

II convient de mettre a part dans U les termes qui contiennent m^ en facteur ; on trouve aisement

en posant

dans ectte formule, les indices i eij ne peuvent plus prendre la valeur zero. On trouve immediatement

dxk ^ f'i * dxk * rl '

I'equation (i4) pourra done s'ecrire

d^Xk « Xk tf'^^iiXi I d{]'

dt'

"^^ f'l Zd r\ nik dxk

Les mouvements relatifs des centres de gravite des n corps consideres, par

•J2 niAPITRt III.

rapport au Soleil, dependrontdonc desSn equations difTerentielles suivantes :

-J— i + (in. ^ + f > — i- = — T- 1 — T-i + ffli. '-^ + I >. — r- — — -j— J

ei'Xt e J't ,x^m,jr, i dV — j;t- 4- IWio— r +1 >. j— = 5 — J

rfC /-J ^^ rf m, OJT,

ou I 'on a

' = jrj+yf 'rsf.

On voit que le nombre des equations difTerentielles (g) est inferieur de trois unites a celui des equations (a); il y aura done dans les integrales generates six constantes de moins que dans cellos des equations (a); ces constantes sunt precisement celles qui figuraienl dans les integrales du mouvement du centre de gravite.

17. On ne connait que quatre integrales des equations (^); elles correspon- dent aux integrales (d) ot (/) du n" 14; nous allons les deduire de ces der- nieres.

Dans les formules (7), remplaQons S,-, y;,, "Ci par leurs valeurs (i 1), et nous trouverons

-'-^■('".-I-M"

.+2«

.,-I».,^

	™.+ 2».,		<" .".+2;».,
*■	'+*,-!»	'/.	,h, "' Z. "' di
	»..+ !;»..		dt ^^ + y m
Cl	'+..-2-.	i=.-	<<:,_'' z. "' di

-^mi

EQUATIONS DES MOUVEMEXTS DES CENTRES DE GRAVITF:. 73

En faisant la meme substitution dans les formules (/) ct (r/), il viendra

2I] -^9Ji —

(17)

=(

dl

2

«90

dt

dC

2

m.

2\ V /'''•*/ '^y\ dz]\

dxf dr\^

' dt dt

2

dvi d^o v* d^i

' dt

(18)

( "' == (^» §^ - ^^ %) ('"» + 2 '"') + ^» 2 ""

777

So

2

m,

dj^ dt

2 ^ (>-' ^ - -

dt

dt

2

mi Zi

et deux autres formules analogues relatives a b^ et c^\ Tindice i doit reeevoir

partout les valeurs 1,2 n^ n designant le nonibre des planetes.

II suffit maintenant de porter les expressions (i(i) dans les formules (17) et (18). On trouve, apres quelques reductions,

aU -\-ih

='L-{3

dl* dl

0

mo-h

^ '"/

[«?-+-^i-+-^?-(2'"'"^'

2-t)'-(2'».^)"l

a3=2''''(^47--^)

oH-^ 'y?/

/?l

U,c, — Cj6, h 2 /;*/ w 2 '"' "^ "■ 2 ''^'^^' ^ '"' 1^ J '

en introduisant la fonction U' par la formulc (i5) et changeant de constantes, on trouve les quatre integrale;s sous la forme suivante :

a

2/ dz, dYi\

""\y'-dt-"-dF)

m.

^">t

(2"''^'2'"'w-2'"'--2""^)

id')

1

b':=

2/ djCi dzi \

m,

^^'i

( 2 /'^ n 2 ''^ 7i7 - 2 '^''•^' 2 '^'^ ^) '

T. - 1.

10

74

r.HAPITRR III.

^Ji'-^

(/')

w/o-^

,/rj

2»'4'y]

On peut ecrire ces integrales (rune nianiere un pen dilTerente: on verifie en cfFet aisement qu'en changeant encore uno fois de constantes el posant

o'—a' \ \-\-

2] ''''

///,

c": cM i-f-

2] ^^i

ffl

0 /

//I-

//" //'(l-!-

2] '"'

///,

on a

"■-2'"'(>'t-='t

+

///

b'=-.

{fi")

1

H-

fHinij

• <it

.r

\^i ^j)

<^yi <Yj

dt

dt)\

r^"

2 '"' yi

dxi ~dt

dxj ~di

<--"'i^-^)]

dt " -^ ' >/^

;;ro22'''''">[(-^'-

'^ ^ dt

dt

2 A'

(/")

/;/; 2d 2d

m, m

dt

dt ^

:^)'

dt

-(,.v-..Vi(t-'^)].

-%']■■

dt

dt

i etj designent deux quelconques des nombres i, 2, ..., n.

Les formules (d') ou (/f") representent les integrales des aires et la for- mule (/') ou (/") rintegrale des forces vives dans le mouvement relatif des planetes autour du Soleil; ces quatre integrales sont les seules que Ton con- naisse jusqu'ici.

18. La forme (g) des equations differentielles du mouvement relatif n'est pas la forme definitive; pour arriver a cette derniere, considerons les trois pre- mieres des equations (g). En ayant egard a la valeurdeU'et remarquant que les quantites A2.3' ^a.i ^3.4» ••• "c dependent pas de ^r,, y^, z^, nous pour-

EQUATIONS DES MOL'VEMENTS DES CEMUES DE GKAVITE.

rons les ecrire ainsi :

r-h

/;/2./j _ 'fi^a'3

(■9)

"5^

//i, «5 /;«., -33

f

/;/, in-

-=if-

<)

A..,

A..3

AT, //In

(^31 \A,,, A,,3

• • • I > . . . I ,

V

• • • I »

Ta, Tj, ... ne dependent pas (le a:,,j,, 3, ; on a done

^J ,-	d djci	./•,	'Jj	+		H-	-'1	— )
•^•3 ,.3 ' 3 • • • •		^i	•^•3 • •	4- • • •	'1	-h	-^1	>

La premiere des equations (19) devient

1

f//l2-r— r—

4-.

J^l Xj -h y| '>'j -H 5| ^4 \ •/*! -^'a 4- ^>'i .)'3 -h -1 -3

1*3

0

On obtient ainsi la forme suivante, la plus usitee, pour les mouvements relatifs des planetes autour du Soleil :

1

'^^^^{m,^-in^y^r^

d'- z

1 .

dC

l(//io-4- //'i)-T ~

.3 1

« >

(A)

dl^'

-hf(//io-i-//l,)— l--^

()R.

(A,)

76 CHAPITRE IH. — EQUATIONS DES MOirVEMENTS DES IIEXTRES DE GRAYITI;.

oil Ton a pose

/•? I- x? H- J? H- c; ,

A?.y -: Aj,, -: (a^,- ^V^-h 0',- ry)«-f- (C, - ."y^.

Cos equations (A) consUtuent un systemo tie 3/i equations diffcrentielles simul- tanecs du second ordrc. Pour en deduire les valeurs les plus gcnerales de x^^ Jm ^r» ^t-2, ja, 5^; ..., il faudrait ohtenir ()w inlegralcs distinctes de ces equa- tions; jusqu'ici, comnie nous Tavons dit, on n'en connait que quatre, qui sont donnees par les forniules (r/') et (/') ou (rf") et (/").

CHAPITRE IV. — EQUATIONS DIFFERENTIELLES SYMETRIQUES. 77

CHAPITRE IV.

FORME SYMtTUIQUE DES EQUATIONS DIFF^RENTIELLES DU MOUVEMENT RELATIF DES PLANfeTES.

19. Les equations (A) du Chapitre precedent sont cellcs dont on se sert ef- fectivement pour calculer les mouvemcnts des planetes; dans certaines re- cherches theoriques, ellcs prescntent toutefois un grave inconvenient, elles ne sont pas symetriques : leurs seconds membres contiennent en eflet des

fonctions R,, R^ qui different d'une planele a I'autre. II est possible d'ob-

tenir pour les n planetes des equations differontielles dont les seconds membres ne contiennent qu'une seule et meme fonction ou plulot ses derivees partielles du premier ordre

Conservons les notations du Chapitre precedent; nous allons remplaccr les variables $o» ^jo» ^o« ^«« ^i» ^i» ••• P^^"* un systeme de coordonnees defini comme il suit.

Fig. lu.

Am,

/ /

/

/

Ci /

M« tit Ml

Soient (y?^. lo) :

G, le centre de gravite des masses M^, el M, (lesquelles sont condensees, comme

on Ta dit, aux points M^ et M,); Go le centre de gravite des masses M,,, M, et ^\.\

G^.i le centre de gravite des masses M^, M,, M^, ..., M„_, ; G celui de tout le systeme.

78 CIIAIMTUE IV.

Nous prendrons comnie nouvelles variables :

X,, y,, z,» coordonnees de M, par rapport a trois axes paralleles aux axes fixes et

passant par M^; X2, y^, Zo, coordonnees de M^ par rapport a trois axes paralleles aux axes fixes et

passant par G, ; Xat y3, Z3, celles de M3 par rapport a G^ ;

X/if V;,, z„, celles de M;, par rapport a G„ ,.

Nous y ajouterons les coordonnees X, Y, Z du point G par rapport aux axes fixes.

La premiere chose a faire, c'est d'exprimer les anciennes variables en fonction des nouvelles.

Pour y arriver, representons par X/, Y,-, Z,- les coordonnees de G, par rapport aux axes fixes et posons d'une maniere generale

(i) m^ -h m, H- //i, -h . . . H- /w, := ^

/)

rindice J pouvant prendre les valeurs o, 1, 2, ... /i; nous aurons

Mais on a aussi, d'apres les proprietes du centre de gravite,

^, Xi ^ niQ Jo -+- /"i £1 -+- ffh ?2,

(3)

Tirons de la les valeursdeX,, X., ...,X„«, etportons-les dans les relations (2); nous trouverons

V '-

f^2

//?n;oH-'''l4l-^- • •H-'7l;,-l>;,_|

^ *?'!

f^/l-1

H-X,..

EOl-ATIONS DIFFERENTIELLES SYMETRIQUES. 79

Resolvons ces n equations par rapport a i,, ^o ^a» <*t il viendra

V

Pi

X X

(4)

\

^ - — ?

^1 . ... ^5 . , .- ^»-3

IV v X| X« X/i— «» X/i — I X//_i

\ f*i /*! r/i-3 f*«-J f*'*-i

Portons ces valeurs de $,, ^2» •••» ^/i dans la derniere des equations (3), et nous en tirerons

f^/i X =1 ft„ 5o -+- '« 1 ( Pi + ''' 1 -^ . . . -f- ''' /I ) -^

Pi

^t . . .„ / ■ .„ \ ^/i— 1

d'oii

J"V '^l '^l X;|_J Xm — I X.|

0 = X — w, TWj . . .— w?/,_i — w«-i -- — nin — ^*

Pi Pt P/I-I p«-t p«

Substituons cette valeur dc ?« dans les equations (4), et nous trouverons

P/i

c«-i = X — m« -- -f- /^;,_2 - — ,

P/i p/»-i

4/I-I — X — m„ //?;,_, f- /^«_3 - — ,

P/* p/I-1 P/I- J

>. V- X/» X/I— 1 X3 X]

P/t P/i-i P3 Pi

P/I P/I-1 Pt Pi

V mr X/j A,, 1 X« Xj

l^n P/i-t Pi P,

Ces formules et deux groupes tout pareils, rclatifs aux coordonnees r\ et ^,

(5)

8o CIIAPITRE IV.

definissent les 3w 4- 3 anciennes variables en fonction des nouvelles, qui sont

A., \j» Xj, •••) ^/i9

^ » J 1 ? J 2» • • • 1 J /!»

'■'i "1» "J* •••1 '"11 '

20. Les formules (5) rentrenl dans le typo suivant

£0 3^ \ 4- ^0,1 Xi -\- a^^i Xj 4- . . . -}- fl'o.n X/i>

?i — X H- r/i,, X, -+- rt,,, X, -f- . . . -+- «,,„ x„,

(6)

si Ton pose

?/ — X 4- <7|^i X, -h ^1,, Xj -+-... -h Oi^n X/if

« ?« — X + <7/i, 1^1 -+- fl'rt.sXs -+-••-+- ^/i, /I X;,,

my . .

aij— -^ pour «</,

r'J

(7) \ ^ij — o, pour />y,

Cela pose, formons Texpression de la quantite

H — - /7io ?J -f- /^^i ?? -H m, II -f- . . . -r- w« IJ,

en y remplagant les quantites ^ par leurs valeurs (6); H deviendra ainsi une fonction du second degre des quantites X, x,, Xj, ..., x,,. Le coefficient de X^ dans H sera

on trouvera pour celui de 2Xxy

t = n

^0^0 J + m,a,,y -h . . .-^mna„j r= ^ /W/a,,y ;

£=0

pour celui de axyx^, j etant different de k.

I=r0

et enfin, pour le coefficient de x',

1 = 0

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SYMETRIQUES. 8f

Or, en tenant compte des formules (7), on trouve aisement

l=.H

2 ^i^u = '^o^o.y -H ^i^ij -+-...-+- 'f^-i^j-uj -+- "h «>.-

1=0

m

f^y-i _.

= — (mJH- m,-h . . . -h 'Wy-i) -~ -^ 'Wy ^ izi o,

Py Py

1=0

1=: (mo-f- m,-+-...-4. my_,) (~)'^- ''h ( ~-~-) - ^^^'^""'^ (myH-fXy,i) = ^ /Wy

et, en supposant, pour fixer les idees, y < /%

i = n

2 "^i^iJ^ifk — 'fh^'oj^o^k -+■ ''i|«i,y «i,A "T" • • • "f" w«y-i «y-i.y «y-i,A -H ^j^jjcij.k

i=;0

=1^ (mo -h mj H - . . . -i- /wy-, ) -^ ■- nij ^ ~- -- — o.

N f^A- P-y P-A-

On a done ces relations

i = n

2 W,a/,y zz: O,

I--. 0 i — n

(8) < ^Wi«i,y«/,* = o, pour y^X,

1-0

i- /I

ct il en resulte cette formule rcmarquable

(9) 'WoSJ -+- mi5i -H . • . -H ''^/.^i — fJ^/iX^ -H — /«! x? -h ^ m^\\ -T- . . . f- ^^ /«« xj.

On en aurait deux autres toutes parcilles pour les coordonnees y] et 2^. On peut diflerentier les equations (G) par rapport au temps; on aura entre les

derivees -^f ~y ~ des relations de meme forme, telles que

/d\y ixo /d\^y fx«_, /dxr^y

T. - I. II

82 CHAPITRE IV.

On en conclut immediatement I'expression de la force vive 2T du systeme des points matericls Mo» M|, M2, . . ., M,„ exprimee avec les nouvelles variables; on a en effet

— •[(§)'-(^)'-(§)i— p)-ri-)"K^-)']'

d'oii

(.o,,T.,.[(-y.(fy.(-)'].2^.».,[(-^)V(*)-.(t)'].

1 = 1

21. Cherchons maintenant a calculer une expression qui nous sera utile dans un moment, celle de

1=0

oil Ton doit remplacer d'une maniere generate $,• et y], par leurs valeurs

?/ = X H- fl/,t X, -H . . . -4- flT/jXy M- . . . -H «/,« X;,,

fii— Y 4- a,-,,yi 4- . . . -^ ai^f^Yk-^- . . . -f- a,,„y„,

deduites des formules (6); on a tout d'abord

dt,i d\ dxi d\j d\n

d-n,_dY rfy, rfy* rfy„.

en substituant dans (i i), il vient

''=(''w-^§)2'».-''2t2-"'..-''2:%2»"«"

k i j i

dY v^ v" d^ v^ v^

-+- ^ 2d^j 2i'ntai,j- :^ ^y*2;j »«/«,,*

-^ 22 '^^ % 2 '"""- .'.*- 22^* ^ 2 '«' '^'.*«'.>-

En vertu des formules (8), cela se reduit a

•'=''-(''^ -^§) -I'^^'S-'-'.'-Il^^t 2""-?-

On obtient ainsi la formule cherchee

<-) 2'»'(«'^'-«.§)=>-.(''S-v§)-2'^'-{«.t-^4')

1=0 1=1

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SY»IETRIQUES. 83

22. Nous allons former enfin les equations difTerentielles dont dependent nos nouvelles variables; nous emploieronspour cela les formules de Lagrange.

Les relations (5) expriment les coordonnees de tous les points du systeme en fonction des variables independantes X, Y, Z, x,, yi, z,, Xj, ..., z^; soity^

Tune quelconque de ces variables, y]^ = -^ ; on aura

La fonction T est donnee par la formule (lo).

11 faut remarquer que U, qui, d'apres les equations (a) du n® 13, ne contenait que les differences $/— Sy, t\i— rij, '^i—^j des coordonnees, ne dependra pas de X, Y, Z, mais seuleinent de X|, Xj, . .; yo Vj. • •; z,, z^, ...; cette fonction ne contiendra pas non plus le temps explicitement.

Prenons d'abord

nous aurons

oqk oqk

done la formule (i3) donnera

^X dt-

— O,

d'ou, en designant par a, p, y, a', P', y' six constantes arbitraires,

(i4) y^-OLt-\-OL\ Y--(3/4-P', Znny^-H/;

on retrouve ainsi le theoreme connu pour le mouvement du centre de gravite d'un systeme soumis seulement aux actions mutuelles de ses points. Faisons ensuite

qk — M\

nous aurons, en partant de (lo),

<^T __ fx/-, , _ fx/-, d\i d\i i^i [i.i dt

0\i

— o.

84

et la (ormule 1 13 ) donnera

CHAPITRE IV.

Fizl,,,,^

F/

dl'

di:

II viendra done, pour Ics equations differenlielleseherehees.

^— nil - Fi

fU'

Fi

/w

(B)

;

Fi

F«

f/z,'

F«

:n /?!

o»

Fi = /Wo -i- mj ;

^,— Wo-f- /n,-+-/7i,;

On voit que ces equations possedent maintenant la symetrie demandee.

II convient de voir quelle sera, d'une maniere generale, la composition de U a Taide des nouvelles variables.

En ayant egard a Texpression connue de U en fonction des A/j et aux re- lations (5), ofT trouvera aisement les formules suivantes

U

m,

mz

)

(C)

/

AJ,.=

(X,-I XjH ^X, ) H-lysH — ^yiH yi -f Z,H ?Z,H — -zA ,

\ F« Ft / \ F« Fi / \ F« Fi 7

mi

.,,.(.,_e..„)V(,_g,)^(,_E..,)-,

^!..-K--S-^.)'

+ y.+

^■

(^-

F«

Fi 7

...=(..-«;,.)■.(,.- t.,)^(,_s.,)-,

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SYMETRIQUES. 85

on est ainsi ramene a un systeme (B) de 3n equations differentiellcs siniultanees du second ordre, dans lesquelles la fonction U depend des nouvelles variables par les formules (C).

23. On aura naturellement quatre inlegrales de ce systeme; elles se dedui- ront des formules (d) et (/) du n** 14, en ayant egard aux equations ( lo) et (12) du present Cliapitre, et remarquant que, d'apres les formules (i4,^» les quantites

/d\y /rfvy (d7.y \-dt) '''Vdl) ''\dt)'

dl d\ d\ cTL dY dX

^Tt^'^lu' '' dt^^di' ^'di^^lTt'

sont des constantes. On trouvcra ainsi, en designant par a\, h\^ c, , h^ quatre constantes arbitraires,

I .-- n

1=1

i -n

">) "■.=S'^""^4'--§)

1 = 1 I - /I

I -I

On voit que, non sculcment les equations difierentielles ont une forme plus simple, mais aussi les quatre integrales connues, quandon emploie les nouvelles variables x,, y,, z, au lieu des anciennes a:,, j,, z,-.

U nous reste enfin a indiquer comment, en supposant effectuee Tintegration du systeme (B), on trouvera les coordonnces des planetes rapportees au Soleil ; les formules (4) repondent a la question; elles donnent en effet

/Wt //?! nil

^i=x,-+- —X,, j2-y24- --yi, 5j--zs+ — *z„

(G) { ^' ^' ^'

X,~X,-+- — X,-f- --X,,- V3 = y3-+- —y^-^—Yl^ 53=iZ3-f-— ?Z,4- — iz„

La consideration des equations ( B) pent etre utile dans certaines recherches theoriques, comme nous aurons occasion de le montrcr dans la suite de cet Ou- vrage.

86 CHAPiTRE IV. — Equations diffArentielles sym^triques.

Remarque I. — Soient, relativement a des axes fixes, P,, P^, ..., P„, n points ayant pour coordonnees x,, yi, z, ; x,, ya, Zj, ...; X;,, y,|, z«; attribuons a ces

points des masses egalesrespectivement a — /n,, —ma, ..., ^^^^m^, et suppo-

sons-les soumis a des actions admettant une fonction des forces U, definie par les formules (C); les equations differentielles du mouvement absolu des points Pi, P3, ... seront identiques aux Equations (B). Dans ce mouvement, les for- mules (D) et (F) representeront les integrales des aires et des forces vives.

Remarque //. — La fonction U est plus compliquee que chacune des fonctions Ri, Ra, ..., qui figuraient dans les equations (A) du n® 18; on voit, par les formules (C) que Ao,2 ne represente plus la distance du point Pa k Torigine; A, ,2 ne represente plus la distance P,Pa. Toutefois, qnand on considere les

mouvements des planfetes autour du Soleil, les rapports — > — > •••> -- sont

petits, inferieurs k j^\ on voit done que la quantity A/j differe peu de la dis- tance des deux points P/ et Py.

Remarque III. — Les variables x,, y,, Z/ different de meme tres peu de j?,-, yi, Zi\ mais on a rigoureusement, pour la planbte M,,

^l = Xt, J'l^^ytJ 5, :z=Z|.

II va sans dire que Ton pourra prendre pour M| Tune quelconque des planetes

M,, Ma, ...» M„.

La substance de ce Chapitre est tiree d*un interessant Memoire de M. R. Radau, intitule « Sur une transformation des equations differentielles de la Dynamique » {Annates de I'Ecole Normale, r® serie, t. V); M. Radau avait pris lui-meme pour point de depart des resultats particuliers obtenus par Jacobi dans son celebre Memoire Sur I' elimination des noeuds dans le probleme des trois corps (^Journal de Lioui^ille, i""* serie, t. IX).

CIUPITRE V. — EQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNEES POLAIRES. 87

CHAPITRE V.

Equations diff^rentielles du mouvement des PLANfciES '

EN COORDONNtES POLAIRES.

24. Si Ton se reporte aux equations (A) du n" 18, on peut ecrire comme il suit les equations difTerentielles du mouvement de la planetc M dont les coordonnees rectangulaires heliocentriques sont x, y, z:

oil Ton a fait

(')

r

oo\jr\ z\ f , m! dcsignent les coordonnees rectangulaires, le rayon vecteur et la masse de Tune quelconque M' des planetes perturbatrices; enfin /Wo -+- m est la somme des masses du Soleil et do la planete M.

Dans un tres grand nombre de questions, il est utile de rcmplaccr les coor- donnees rectangulaires a:, y, z par les coordonnees polaires r, r, 0; on aura d'abord

(2) xz=z rco^OcosVj j=:i rcosOsin^', z--rs\ViO\

rest le rayon vecteur, {^ la longitude et 0 la latitude.

Pour trouver les equations differentielles que verifieront t, {^ et 0, il n'y a qu'a

88 CUAPITRE V.

appliquer les formules de Lagrange; on aura d'abord a exprimer, a Taide des nouvelles variables, la quantile

on trouve

En apbliquant la formule

\(hi'{i _ ^ _. ^

dt dqi dqi

et prenant y, = r, q.^ = v, y, = 0, on obtient les equations chercbees

(a) (4-;^«^y ,M

dt ^ dv'

d ^dO , . . ,di>^ da dl dt dt* dS

25. Nous allons transformer ces equations en introduisant, au lieu de r et 0, les nouvelles variables u els definies par les formules

(3) 11 = p:, 5=lang9;

- est la projection du rayon vecteur sur le plan des ary; s est la tangente de la

latitude. Nous trouverons aisement

da da ()a da , ^^da

dr du dd du ^ ' ds

Multiplions d'abord par 2/^ cos^O^ les deux membres de la deuxieme equa- tion (a); il viendra

, I ds' 2 dv u* dt __ '}. da dv w* 57 dt "" I? ^ 57'

d'oii, en integrant et designant par h^ une constante arbitraire,

/ » ^*'\* it r I da dv ,^

Equations du mouvement en cooRDONNtes polaires. 89

d'ou

(5) . dt=. ''"

-'V^i'>

Multiplions maintcnant la premiere des equations (a) par — cosO, la troisieme par H > et ajoutons; il viendra

— cos9-TT -+- /'Sin^-j-r -H 2 sin^-7- -7- -h rcosO-j-T -h rcosd-j-z dl* ^ dt^ dt dt dl^ ar

dr r 09

Le premier membre de cette equation pent s'ecrire

d^l

d} r cos 9 ^ dv^ u i dv^

on aura done

dt\u*

d(\ du\ £^__ f^Oa s\n9 d^ dlj'^udt^- ^^^^dr'^ r 09

Nous aliens remplacer dt par sa valeur (5), ce qui nous donnera

— cos9-r- H r^;

(/r /• 09

d'ou, en eflectuant les calculs et prenant i^ pour variable independante,

(6)

d^N I /dildn ^d^ sm9 dil\

RemplaQons de meme dans la troisieme equation (a) dt par sa valeur (5); il viendra

+ «' /•» sin e COS 0 (/«' + aj ~ ^ rf.-) ^ ^ T. — 1. la

go CHAPITRE V.

ou bien, en tenant compte des relations (3),

V'-* 'fi > i' (S v/"- '/^ S-"') - ""("■- '/i f "'■) = ^

d'oii

(7)

"•(*-'/if*)

\dv dv dey""^'

R6unissons maintenant les formules (5), (6) et (7) et tenons compte des rela lions (4); nous trouverons

dt^

di^

u^i/h^-i-2 r

d^ du

(«')

d^u dv^

u

di> u}dv

du

dQ, dv dv u*

i ^

u ds

= 0.

d^s dF*

,, roa dv

J ov a*

d^ds da , ^,da

ov dv du as

= 0.

Nous ferons rcmarquer que, d'apres les formules (i) et (2), Q est une fonc- tion de r, r, 0 et du temps t qui sera introduit par r^, i^' 0', r", {^\ 0", ...; on pourra ecrire aussi

t, uets devront etrc censes exprimes en fonction de la variable independante i>. Les equations (a') servent de base a la theorie de la Lune de Laplace.

26. II pent etre avantageux d'introduire, au lieu de , > -j-y -j-y les pro- jections de la force acceleratrice de la planete M sur trois axes rectangulaires

Fig. II.

. I

'>ll

B

Q .-

que nous allons definir. Soient (fig. 11). a Tepoque ^, M et Q la position de la

EQUATIONS DU MOUVEMENT EN COOKDONNEES POLAIRES. 9 1

planete et sa projection sur le plan fixe .rOj, QA le prolongement de OQ, QB la perpendiculaire menee sur OQ dans le plan fixe arOj, dans le sens oil les angles r croissent, QC la parallele a 0^; les axes mobiles sur lesquels on va projeterla force acceleratricc seront QA, QB, QC, et les projections de la force en question sur ces axes seront representees respectivement par P, T, S. On aura

P = \ cost' hi sinr= -.— cos r + ^- sine,

ox oy

(8) ( Ti=— Xsinc -h \ cost' : — r— sin t'H- -r- cost*,

dx OY

OZ

Donnons au point M un deplacement virtuel caracterise par Sir, Sj, Ss; soient ov, ou et 8s les variations correspondantes de r, ueis; on aura

-— oj?-f- -T-ov-h -.-05=: (Pcosf -Tsint')ox -\- (Psinr -f-Tcost)dy -h So5 dx dy dz ^ ^ ' ^

=^ ^j- Ot' ^- -r- 6U -{- -rr- OS.

ov ou OS

En substituant pour ox-, cij, tz leurs valeurs tirees des forinules

cost' suit' s

u ^ a u

et egalant dans les deux membres les coefticients de Sr, 8u et hy on trouve ai sement

(9)

dv		j^.
du	—	P	-hSs
dQ,		I o
ds		z^'

si Ton porte ces valeurs dans les formules (a'), elles deviennent

A* -h 2 / — rft'

J «'

L ^ P^~s

d*s u^ dv a'

dF--^'-^— Tj--^''-

'"^^3

92 CHAPITRE V. — EQUATIONS DU MOUVEMENT EN COORDONNtES POLAIRES.

27. Donnons enfin une tierniere transformation tres simple des equations differentielles. Si Ton designc par p la projection rcosO = - de r sur le plan des xy^ on a

u

^ — p cos r, J = P sm Vy

= p5;

en partant des formules (a) ct (8), on trouvc aisement

P n_ cos t' -t:^ -h sin V -jTT- zi;

dC^

d^

rr> . d-.v d^v

r — — sm t' -7-=- 4- cos V -p-r = dt^ dr

^ d^z d}ps

^^'di}^'di^'

d^pcosv . d^p s\nv c^'pcost' rf'psini'

d'oii Ton tire, en reduisant, les equations suivantes

(«')

dt^ ^dt^ ^'

p dtY dt)~ *'

<f*p.9

-s,

qui ont ete frequemment employees, notamment par M. Airy dans son Memoire intitule Numerical lunar Theory ( Londres, 1 886).

CIIAPITRE VI. — PROBLEME DES DEUX CORPS. 98

CHAPITRE VI.

PllOBLfcME DES DEUX CORPS.- PREMIERE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANETES. — MOUVEMENT ELLIPTIQUE. MOUVEMENT PARABOLIQUE. MOUVEMENT HYPERBOLIQUE.

28. Soient 0 le centre de gravite du Soleil, P, P^ Pj, ... les centres de gra- vite des diverses planetcs ou des systemes secondaires formes chacun d'une planete et de ses satellites; nous prendrons pour unite la masse du Soleil, et nous designerons par m, //if, m^, ... les masses des planetes isolees ou les masses des systemes secondaires. Par le point 0, menons trois axes Ox, Ojr, Ozy de directions invariables, et soient, relativement a ces axes, cc, y, z, r, ^^f yif ^\y ^\> ••• l^s coordonnees des points P, P,, ... et leurs distances au centre du Soleil.

Les equations differentielles du mouvcment des points P, P,, ... ont ele don- nees au n** 18; nous allons les reproduire avec de legers cliangements de notation. Nous poserons

et nous aurons

] d^Y y (JR I

dy IF -^^^P^-d^'

dt^ "^ ^'7\'~"dl^^ <^y\ . f.. yx_dK

(«i) [^-^^^'rX^^W.' rj=a:;+r; +

--1 J

94

et

(«)

OUAPITRE VI

Lv/(.r,-a;)'+(.v,-.K)'

dTX, -+■ Yfi + ZZ

R.

-h (-, — i)'

1- f /Ml

[v/(x,-j:)«"

-M

+ (J2— 7)'-^ (-« — -)

r\ J

-I-

^x^-^ yxy-^^

-i-i)'-t-0'-/i)'^- u-^,)*

[

i-fWi -7----

v/t

i2r« —" t^c

-1

I J'iy«+,rir,+ g|j,1

■t-

On a done a integrer, si i designe le noinbre des planetes, un systeme de 3i equations differenlielles siniultanccs du second ordre. On a dit deja que, memc pour i= 2, on ne sail pas resoudre rigoureusement le probleme; fort lieureu- sement, une circonstance particuliere va nous perniettre d'obtenir une solution approchee. Les masses des planetes sont en eiFet tres petites par rapport a celle du Soleil ; ainsi la masse la plus considerable, celle de Jupiter, n'est pas la mil- lieme partie de celle du Soleil; les seconds membres des equations (a), (a,), ... contiennent dans tons leurs termes en facteur un des nombres tres petits m, rrit, ..., qui expriment les rapports des masses des planetes a celles du Soleil; d'autre part, les distances mutuelles des planetes ne deviennent pas tres pe- tites; done les attractions qu'une planete eprouve de la part des autres planetes sont tres faibles par rapport a celle que lui fait subir le Soleil. On trouvera, par exemple, dans les seconds membres des equations (a), en posant PP| = A, les quantites

y fm, z^ — z

tandis que les seconds termes des premiers membres de ces memes equations sont

f ( I -h m ) X f ( I \- m) y f ( i -^ in) z ^

/•

/•'

or m, est tres petit devant i -^ /w, ^^ est comparable a -•

On pent done, dans une premiere approximation, reduire a zero les seconds

PREMIERE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANfeXES. qS

membres des equations (a\ («i\ . . ; on trouve alors les equations

I d^ y V

(*) i rf^ "^ '^'^ 75 = °'

-5^+ff*7, --=0;

Les equations (i) fornf)ent un groupeindependantde(6j);on a naturellement le meme resultat que si Ton avail traite du mouvement de chaque planete comme si elle existait seule autour du Solcil.

Nous allons done nous occuper de Tintegration des equations (i); cette inte- gration pent sc faire rigoureusement; les formules generales auxquelles nous arriverons conviendront aux equations (i|), . .; Tensenible de ces formules constitucra la premiere approximation. II restcra ensuite a montrer comment on peut utiliser les integrales des equations (i), (A|), ... pour integrer par ap- proximation les equations (a), («<)

29. Integrales premieres. — Si Ton ajoute les deux premieres equations (i) apres les avoir multipliecs, la premiere par —y, la seconde par -j-^r, on obtient une combinaison integrable; on trouve ainsi, en designant par C, C, C" trois constantes arbitraires

dz dy

^-dt-''Tt-^^

I d^c dz ^,

"" dt y dt-^ '

ce sont les integrales des aires.

On forme avec les equations {b) une autre combinaison integrable, en les multipliant respectivement par 2dx, zdy, idz et ajoutant. Soit a une constantc

QO CHAPITRE VI.
arbi.traire; on trouve ainsi
,T». dx'^ dy^ dz^ liu.	a '

c'est rintegrale des forces vives.

Nous montrerons dans un moment comment on pent determiner la courbe decrite par la planete en partant des integrales ci-dessus.

Mais nous allons d'abord faire connaitre trois autres integrales donnees par Laplace dans la Mecanique celeste et qui nous serviront plus loin.

On tire des equations {b)

d\y ..,d^z_ Cz^cy '^ di^'~^'dt^-^^ ~^^ '

et, en remplagant dans le second membre C et C'par leurs valeurs (A), il vient, apres une transformation facile,

J dx dr

on pent integrer, ce qui donne

^, dy ,^, dz « X

C -5 C -J- = fa - 4- const.

dt dt * /•

Soient doncF, F', F" trois constantes arbitraires; on aura les trois integrales cherchees

(C) l^'-'-'^r-^^'^-cS'

11 faut supposer dans ces formules C, C, C" remplaces par leurs expres- sions (A).

Entre les sept constantes C, C, C", a, F, F', F", il existe deux relations faciles a obtenir. On trouve d'abord, en ajoutant les formules (C) apres les avoir mul- tipliees par C, C, C",

CF 4- C'F'4- C'F" --= ^^: (C^ 4- CV -f- CT z)x mais les formules (A), multipliees par .r, v, 5, donnent

(i) C:r-+-C>4-C'5 = o;

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 97

il vient done

CF-i-C'F-i-CT' = o.

On demontre ensuite par des calculs faciles que Ton a identiquement

a

11 resulte des deux dernieres formules que, sur les sept integrates (A), (B) et(C), cinq seulement sont distinctes.

30. Revenons a la determination de Torbite ; Tequation (i) montre qu'elle est

plane, et que son plan passe par Ic Soleil. Nous prendrons ce plan pour^rOj,

de maniere que z sera constamment nul; les integrales (A) et (B) se redui-

ront a

dv dx ^_

dt - dt '

dx'^ -\- dy^ __ 'dF~

="•0-0

ou bien, en remplagant C" par c et introduisant au lieu de o^et^les coordon nees polaires r et &,

Soit S Taire decrite par le rayon vecteur r quand la planete passe de la posi- tion qui repond au temps t^ a la position quelconque qui correspond au temps /. On a

la formule (2) donnera

2

2

Les aires decrites par le rayon vecteur sont done proportionnelles aux temps employes a les decrire. On retrouve ainsi la premiere loi de Kepler; on voit en meme temps quelaconstante c represente le double del'aire decrite dans Tunite de temps. Si Ton elimine dt entre (a) et (3), il vient

T. - I.

i3

98 CHAPITRE VI.

d'oii

,1 r \ fa 2 fa c'

c d- d^z=L

. /_ !Jf _H i!> _ £!

V a /• /•'

rf& =

(r. - 'i)

On aura done, en integrant et designant par to une constante arbitraire,

— &) = arc cos

C ffX

r c

/fV_fff

V c« a d'oii

c»

(4) r= ^^

•+v/'-f^'^"'^^-">

e'est I'equation de la trajeetoire. On voit que c'est une section conique ayant pour foyer le centre du Soleil; dans le cas des planetes, les conditions initiates doivent etre telles que cette courbesoit une ellipse. Nous retrouvons la seconde loi de Kepler.

Designons par p le parametre, a le demi grand axe, e I'excentricite de Tor- bite, qui sera inferieure a Tunite; soit (Jig. 12) A le point de Tellipse le plus

Fig. 12.

voisin du foyer 0, point qu'on nomme le periheUe (le point A' le plus eloigne du point 0 est Vaphelie); representons par iv Tangle AOP que fait avec OA le rayon vecteur r= OP de la planete au temps /; w est appele Vanomalie vraie de la planete.

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. 99

L'equation bien connue de Tellipse, avec les coordonneesret w, est

i-f-ecosiv i-hecosw'

la comparaison de cette expression avec (4) donne

(5) « = & — «r = XOA;

0) est done Tangle que fait avec OX le rayon vecteur du perihelie; on a ensuite

c-

d'oii Ton tire

a(i — e')== f-j e — i/i— r, —

(6) c =: v/»>p = v/t>a(i - /?*)

et

ainsi la constante a, que nous avions introduite dans Tintegrale (B) des forces

vives, n'est autre chose que le demi grand axe de Torbite.

' Si done V designe la vitesse de la planete a Tepoque /, on aura, d'apres (3),

(7) V-fH(^-i);

c'est une forinule importante. L'aire de Tellipse est

si Ton represente par T le temps employe par la planete a decrire son ellipse, Taire - decrite dans Tunite de temps sera

c Tra'v^i — e'

2 ~ T '

remplaQons c par sa valeur (6), et nous trouverons

»

(8) ^^=f^L = f(n-m),

ce qui est une relation fondamentale pour la suite.

lOO CUAPITRE VI.

Pour la seconde planete P,, on aura de memo

'^iii=l>,=zf(i-f-m/);

Tf

on conclut des deux dernieres formules

(9)

T? — aj 14- m '

on n'a plus

11- ^'

et la troisieme loi de Kepler cesse d'etre verifiee rigoureusement; mais elle Test d'une fagon tres approchee, car nous avons dit que les nombres m et m^ sont

tres petits; la fraction -^ difiere fort peu de I'unite.

On designe ordinairement par n le quotient

qu'on appelle le moyen mouvement; c*est la vitesse angulaire que devrait avoir un rayon vecteur lictif qui tournerait d'un mouvement uniforme autour du point 0, de maniere a faire une revolution complete dans le meme temps T que le rayon vecteur de la planete.

Si Ton introduit la quantite n dans les formules (6) et (8), on trouve les relations

(ii) /i«a»=:f^=izf(i4-m),

(i2) c=z na'y/i — e',

qui sont d'un usage constant.

31. Calcul de la position dans Torbite. — Nous aliens montrer mainte- nant comment on pent determiner la position de la planete sur son orbite a une cpoque quelconque.

On a, d'apres(5),

di ""di'

MOU YEMENI ELLIPTIQUE. lOI

il viendra done, en ayant egard aux formules (2) et (12), (i3)

r* —z- =^ no} i/i — e', at '

a(i — eM

1 -h ecostv'

ces deux equations determinent r et m^ en fonction de /. Eliminons ^v : nous aurons

cos wz^za J

ere

d'oii

aw --^ —

'• v/a*e«— (« — /•)»

en portant eette valeur de w dans la premiere des equations (i3), il vient

(i4) ndtz^ — 7=---

On est conduit a prendre une variable auxiliaire u definie par la relation

a — r -—. ae cos u ;

on en tire

(i5) r — a{i — ecosw),

et, en portant cette valeur de rdans I'equation (i4)» il vient

ndt=z{i — e cos u ) du,

d'oii, en integrant et designant par t une constante arbitraire,

(16) u — es'inurzz n{t — t).

La variable auxiliaire u est susceptible d*une interpretation geoinetrique tres simple. Decrivons, en effet, un cercle sur le grand axe de I'ellipse comme dia- metre; Tordonnee QP (^g. i3) perpendiculaire sur CA rencontre cette circon- ference en R; menons la droite CR et faisons pour un moment

CQ-x;

I02 CHAPITRE VI.

nous Savons, par Ics formules de la Geometrie analytique, que Ton a

0P= r zz: a — ex.

En comparant avec la formule (i5), il vient

x=za cos u ;

mais le triangle rectangle CQR donne

on a done

X:=rtC0S(QCR)

// = QCR.

C'est rintcrpretation cherchee ; la variable auxillaire u se nomme Vanomalie excentrique de la plane tc.

Fig. i3.

La formule (i6) fcra connaitre la valour de Tanomalie excentrique en fonction du temps; I'equation (i5) donnera ensuite r.

Nous pouvons rcmarquer qu'au point A on a w = o; la formule (i6) donne alors / = 'T ; done la quantite t represente le temps du passage de la planete a son perihelie.

II nous reste a determiner w en fonction de u. Pour y arriver, il suflit d'egaler les deux expressions (i3) et (i5) de r. On trouve ainsi

— ^^ '- =a(i — ecostt),

1-4- e cos w

d'oii

('7)

C0SW=:

cos u — e I — ecosa

smt^^*

=.sji^e'

SlliU

I — e cos u

L'une ou Tautre de ces formules permet de calculer v^en fonction de m; mais

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io3

elles ne sontpas les plus commodes pour le calcul numerique. On tire de la premiere

.i^F' (i — e)(i-\-cosu)

iH- cosw= 2 cos'— = ^ ~ ',

2 I — e cos u

. , ix' (i -h e)(i — cosw) 2 I — e cos u

d'oii

U

. w ^ 2

sin- = . -y

2 VI — ecosu

. ^ \ I — — w

(i8) / v'--<?cos —

cos — = >

2 ^i — e cos w

2 V I — c

tang- = ^/^ tang ^

Enfin» en combinant les formules (i5), (17) et (18), on pent ecrire encore

, ^ ( r sin w =: a v^i — e' sin 1/,

( rcoswzir a(costt — e);

yr sm — = v^a(i -+- e) sin — > (20)

vrcos— = v«(i — e) cos-'

^ 2 ^ ^ '2

Ces deux groupes de formules donnent en memc temps r et iv en fonc- tion de w; on les emploie, le dernier surtout, quand il s'agit de calculs* nume- riques.

On voit que la position de la planete sur son orbite est determinee complete- ment en fonction de </; la valeur de u est determinee elle-meme en fonction de t par I'equalion (16), qui est transcendante et que Ton appelle X equation de Kepler.

L*angle /i(/ — 't) = 211— ^p— est ce que Ton nomme Vanomalie moyenne; on

la represente generalement par ^. On voit que c'est Tangle dont a tourne depuis le perihelie le rayon iictif considere plus liaut a partir du moment ou il coinci- dait avec OA.

Nous pouvons resumer comme il suit les formules essentielles qui servent k

Io4 CHAPITRE VI.

calculer la position dc la planete dans son orbite :

" = \/5'

(c) \ w -^ e sin w -= C>

/• = a{i — ecosu)y

— — i /' "^ ^ 2 V I — c

tang:. = l/,-±-:tang^

II nous reste k donner les integralcs completes des equations (h).

32. Calcul de la position hSliocentrique. — Nous reprenons trois axes 0^, Oj, 05 de directions invariables se coupant au centre du Soleil; il est dans Tusage actuel d'adopter pour plan des xy le plan de Tecliptique au i*"^ Jan- vier i85o; la partie positive de I'axe des x sera la droite menee du point 0 a I'equinoxe moyen du printemps a la meme epoque. La partie positive de Taxe desy sera dirigee vers le solstice d'ete, et la partie positive de I'axe des z vers le pole boreal de Tecliptique.

Du point 0 comme centre, avec un rayon egal a I'unite, trafons une surface spherique; soient (^g. i4) ^» y» ^ les points oil elle est percee par les parties positives des axes. Le plan dc Torbite de la planete coupe la surface de la sphere

y H

suivant un grand cercle MN qui rencontre le grand cercle ayy en deux points qu'on appelle les naeuds du plan de Forbite : Tun est le ruBud ascendant, Tautre le noBud descendant. La definition du noeud ascendant est la suivante : Dans son mouvement, la planete perce le plan des xy en deux points C et C; considerons celui de ces points, C, oil le z de la planete, en devenant nul, passe du negatif au positif ; le rayon OC rencontre la sphere au point N qui est le noeud ascen- dant.

L'arc irN compte a partir du point x, dans le sens xy, jusqu'au point N est la longitude du noeud ascendant ; nous la representerons par 0. L'angle j^NM que

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io5

fait le plan de rorbite avec le pl^ des ooy est Vinclinaison de I'orbite; nous la designcrons par (f; elle est definie sans ambigu'ite par Ics directions Ny et NM prises respectivement dans le sens xy et dans le sens du mouvement de la pla- nete.

Les deux quantites 0 et <p determinent sans ambigu'ite la position du plan de Torbite; 0 pent etrc compris entre o® et 36o®- Toutes les planetes tournent dans le meme sens, sens direct, autour du Soleil; le plan des ocy diflere peu de I'or- bite d'une des planetes, la Terre; done Tangle 9 sera compris entre 0° et 90®. II y a plus, les anciennes planetes ont des orbites peu inclinees les unes sur les autres; 9 sera done pour chacune d'elles un angle assez petit.

Pour les cometes, (p pent etrc compris entre 90° et 180®; alors le mouvement de la comete est retrograde; les definitions de (p et 0 donnees ci-dessus sont applicables a tons les cas.

Apres avoir fixe la position du plan de Torbite, il faut indiquer Torientation de Tellipse dans ce plan : soient A le perihelie, P une position quelconque de la planete sur son ellipse; les rayons OA etOP percent la surface de la sphere aux points n et M; pour determiner la position du point 11, on donne la somme des arcs ;rN et Nil (Nil est compte a parlir du point N jusqu'au point 11, dans le sens du mouvement de Tastre), et on la represente par trr; on a done

d'ou

Nn = cj-^;

GJ est ce que Ton appelle la longitude du perihelie .

II faut maintenant faire connaitrc la forme de I'ellipse, en donnant son excen- tricite e, et sa grandeur absolue, en donnant le derrd grand axe a, ou la distance moyenne de la planete au Soleil.

On doit dire ensuite comment la planete parcourt son orbite ; cela se fait en introduisant la duree T de sa revolution, ou le moyen movement

enfin, il faut savoir a quel point de son orbite la planete se trouve a un moment determine; on donne pour cela \e temps du passage au perihSUe^ t.

II est facile maintenant de calculer la position de la planete en fonction du temps et des constantes qui viennent d'etre definies; on aura d'abord

u — esinu=^ n{t — T), f=za{i — e cosu);

designons par v la somme des arcs a?N etNM, Tare NM etant compte comme Nil T. - 1. i4

Io6 CHAPITRE VI.

a partir du point N, dans le sens du mouvement de la planete; i^ est ce que Ton nomme la longitude de la planete dans son orbile. L'anomalie vraie w est Tangle

w = AOP = EM = (^ — cj ;

on aura done, d'apres la derniere Equation (c),

=:i/i±i

y I — e

p — GJ ^ /i-he ^ u tang —T- =1/ - — ; tang - ;

on a ainsi r et v. Reste a former les expressions de a?, j, 5, coordonnees rectangulaircs de la

planete P, par rapport aux axes definis au commencement de ce numero. Or -j

-> - sont les cosinus des angles que fait le rayon OP ou OM avec les axes; si done nous tracons les arcs de grands cercles Ma?, M j, M2, nous aurons

- = cos(Ma?), ^=:C0S(M7), -=C0S(M5).

Pour obtenir ces cosinus, nous considerons les triangles spheriques

Ma?N, MjN, M5N, dans lesquels on a

a?N=0, a?NM=7r — 9,

5N=-> -sNM^ 9:

2 2 ^

en appliquant a chacun de ces triangles la formule fondamentale de la Trigono- metric spherique, on trouve

cos(Ma?) = cos0cos(i' — B) — sin^ sin(('-— d)cos9, cos(M j)=:sin^ cos(p— ^)-hCos9 sin((' — 0)cos9, cos(M^) = $\n(v — Q) sin9.

On voit que les formules precedentes font connattre a:, j, z en fonction de / et des six constantes arbitraires a, c, <p, t, tar, 0; la quantite n ne doit pas etre comptee comme une constante distincte de a, puisque c'est une fonction de a definie par la premiere des relations (c). On a done ainsi les integrates gene- rales des Equations (6).

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. IO7

Les astronomes introduisent generalement a la place de t un autre ele- ment e defini comme il suit : imaginons, comme plus haut, un rayon vecteur fictif coincidant avec le rayon vecteur de la planete aux epoques t, t+T, T -+• 2T, . . . , et tournant d'un mouvemcnt uniforme autour du point 0 ; il effec- tuera done une revolution dans le temps T, et sa vitesse angulaire sera n; a Tepoque /, ce rayon percera la surface de la sphere au point M', et Ton aura

si sur OM' on prend une longueur 0P'= a, P' sera une planete Active qui res- terait a une distance constante du Soleil, et serait animee sur son orbite circu- laire d'un mouvement uniforme.

La longitude de cette planete tictive, dans son orbite, serait

/ est ce qu'on appelle la longitude moyenne de la planete P ; a I'epoque zero, elle se reduit k o — /it, quantite que Ton represente par e; e est done la longitude moyenne a I'epoque zero; on dit plus simplement que c'est la longitude moyenne de Vipoque. On a done

xs — /iT = e,

d'ou

I'anomalie moyenne devient

(21) Z:=znt — n7-= nt -{-e — gj;

la longitude moyenne /pent s'ecrire

de sorte que

(22) C=/ — cj.

Nous aurons done finalement, pour les integrales generates des equations (6), cet ensemble de formules

«=v1

u — e sin uz= nt-{-e — w, r r=a(i — ecosa),

(d) I <; — Gj /i -\-e u

^ tang -^ = 1/^-^ tang-,

xz=z r[cos0cos((^-— 0) — sinOsin((^ — 9) COS9], j= /•[sin0cos(r — 0) H-cos0sin(r — B) COS9], 5 = r sin ( t' — Q) sin cp.

Io8 CHAPITRE VT.

Les six constantes 6, (p, tnr, e, a, e sont appelees les six dements du moui^e- meat elUptique^ ou souvent, par abreviation, les six elements elUptiques de la planete.

Remarque. — L'arc IIM' etantegal a Tanomalie moyenne, on a

r=i/-+-M'M;

la quantite M'M est ce qu'on appelle Vequation du centre; c'est ce qu'il faut ajouter a ranomalie moyenne pour trouver Tanomalie vraie, ou a la longitude moyenne pour obtenir la longitude vraie; si nous la representons par c, nous aurons

(23) C — W—Ky

et il en resultera

(24) ! ou

I =i e-h nt.

33. Revcnons a la ^g. i4; prolongeons Tare de grand cercle zM jusqu'a sa rencontre en H avec le grand cercle xy; la droite OH sera la projection du rayon vecteur rsur le plan des ocy. Posons

v^ et 5 sont la longitude heliocentrique et la latitude heliocentrique de la planete, et constituent avec rses trois coordonnees polaires.

Le triangle spherique MHN est rectangle en H; on a dans ce triangle

NH=:r, -9, NM -('-(?;

on en conclut

(25) lang(ri — 9) — cos9lang(r — 0), (e) sin5=: sin 9 sin (c— 0);

ces formules permettront done de calculer ^, et s.

Lorsque Tinclinaison cp est petite, et c'est le cas usuci, on calcule generale- ment f', d'une autre fa?on ; on sait qu'on deduit de I'equation ( aS)

tang* - tang* ?

((;j-9) = (r— 0) ; — ^sin2{v-e)-h~. — j^sin4(r-0)-...;

\ 1 / V ' sin i'' ^ ' sin 2'' ^

^1

MOUVEMENT ELLIPTTQUE. IO9

on peut done 6crire

I lang« I tang* |

rjz=:r4-p;

ces formules permettront de calculcr r, tres facilcment; la quantite p, qui est tres petite dans le cas considere, se nomme reduction a Vecliptique.

34. Maximum de rSquation du centre. — L'equation du centre C est une fonction de la variable ^ et du parametrc e\ cettc fonction s'annule pour^ = o et I^ =u, quel que soite; entre ces limites de X,^ elle est d'ailleurs positive, car on voit aisement que Ton diX,<^u<^{v; ellc passe done par un maximum, et e'est ce maximum que nous nous proposons de determiner.

On a

« ^ dC I dw I , div c a}Ji — e-

C = «^ — C, -— - = --7- — i=z — ~ r* -J- — I = — - — I z= — ?^— I ;

rfC n dt nr* dt nr^ /•*

on aura done, pour le maximum, Les expressions eonnues do r en fonction de m el Mt^ donnent ensuite

I— (I — e*)^

COSM = ^ —^

C

I — (I — eM^ cosw — ^^ — :

COSM est positif et cosiv negatif; il eonvient de poser

11=. //', (»' r— — f- w' ;

2 2

on aura done

1

e (26)

e

Ces formules feront connaitre u' et w' ; on aura ensuite

C^= i%' — u -i- e sinu,

no CHAPITRE VI.

d'oii

(27) C =1 a'-i-(»^-hey/i— sin*a'.

Si e est petit, les formules (26) donneront pour sinw' et ^\nw' des expressions que Ton pourra dcveloppcr en series tres eonvergentes suivant les puissances de e\ ces series commenceront a la premiere puissance de e; on en conclura les developpements analogues de u\ w\ et du maximum c par la formule (27).

On trouve ainsi

« II - SoQ _ 17210 _

48 5 1 20 229370

On pent tirer de cette relation la valeur de I'excentricite en fonction de la plus grande equation du centre; on trouve

2 2*. 3 2". 3. 5 2". 5. 7. 9 "■'

cette formule a etc employee pendant longtemps au calcul des excentricitjBs des orbites planetaires.

35. Mouvement parabolique des comMes. — Si Ton suppose infinie la constante a qui figure dans Tintegrale (B) des forces vives, le coefficient de cos(& — 0)) dans la formule (4) devient egal a I'unite. La trajectoire est une parabole ayantle Soleil pour foyer; c'est le cas du plus grand nombre des co- metes. On a alors, en representant par/? le parametre de la parabole,

(28) r =

I 4- COS(«'

(29) ''"■^-v^;

w est la distance angulaire de la cometc a son perihelie (le perihelie n'est autre chose que le sommet de la parabole).

Le calcul de r et Mt^ en fonction de t est essentiellement different de ce qu'il etait pour les planetes.

L'elimination do r entre les formules (28) et (29) donne

1

v/l> dt = -^ div

4 cos* — 2

MOUVEMENT PARABOLIQUE. Ill

ou bien

i^ef^ = ( 1 4- tang' ^ j flf lang^;

d'oii, en integrant et designant par i Tinstant du passage de la comete au peri- helie,

/tlrx\ 2 \/i'UL , ^ W . , CV

(3o) ^(^_T)=ziang--i-itang»-.

Cette equation donnera w en fonction de / : apres quoi la formulc (28) fera con- naitre r. Ayant obtenu ainsi r et iv, on passera au calcul des coordonnees rec- tangulaires a:, j, z de la comete par les memes formules que pour les planetes. Pour suivre Tusage adopte par les astronomes, il convient d'introduire, au

lieu de/?, la quantite q=-y qui reprcsente la plus courte distance de la co-

mete au Soleil, et que Ton nomme simplement la distance perihelie. On a ainsi cet ensemble de formules

tang - -t- i lang> - = -5!-^ ( « - T),

2 ^ q \2q

r=-^

U)

cos* —

2

x-rzL r [cos 9 COS (r — 0)— sin ^ sin (p — 9)cos9], jr=r[sin(?cos(r — 0) 4- cos 0 sin ( i^ — B) coscp], 5 = r sin (i^ — (?) sin 9;

la formule (7) donne d'ailleurs pour la vitesse V de la comete cette expression tres simple

V«=z:

2f/JL

/•

On obtiendra ainsi x^ j, z en fonction de / et des cinq constantes arbitraires ou ilements paraboliques 0, 9, cr, y, t. La signification des elements 0, (p, cr et t est la meme que pour les planetes.

Remarque. — La fonction tang — h { tang'— croit sans cessc avec iv; elle est

nulle pour fv = o et infinie pour w = t,\ done la premiere des formules (g-) donne toujours pour w une valeur et unc seule, comprise entre o et =t u, scion que Ton a t\i. On voit que la determination de w est ramenee a la resolution

112 CHAPITRE VI.

d'unc equation du Iroisieme degre dans laquclle I'inconnue est tang-- Dans la

pratique, on cvite la resolution de cette equation du troisieme degre en la rem- plagant par le systeme suivant :

(3l) e)ll

3

>

( 32 ) on ^ y/j^ (tang J 4- 1 tang' ^) ,

oil dXL est une quantite auxiliaire.

On construit une Table numerique donnant la valeur de la fonction oil de w, determinee par la formule(32), pourdesvaleurs equidistantesdeTargumentiv; une fois cette Table construite, on pourra en tirer la valeur de w qui repond a celle de OIL determinee par la formule (3i).

La Table en question sera la meme pour toutes les cometes, parce que, leurs masses etant tres petites et absolument negligeables devant celle du Soleil, on pent prendre (x = i ; des lors, il n'entre rien dans la formule (32) qui se rap- porte a telle comete plutot qu'a telle autre.

36. Hh&ovhmB d'Euler. — On doit a Euler une expression des plus remar- quables pour le temps s que met une comete, dans son mouvement parabolique, a passer d'une position P a une autre P'; cette expression contient seulement, et d'une maniere tres elegante, la sommer-i-r' des rayons vecteurs menes du Soleil aux points P et P' et la corde a = PP' qui les joint.

Soit w' la valeur de w qui repond au point P' : nous regarderons w et w' commc positifs apres le passage au perihelie, comme negatifs avant, et nous suppose- rons w'^w. En retranchant I'equation (3o) de Tequation analogue pour le point P', on trouve, en faisant pour abreger I'ecriture k = y/fix,

-^ 6 z= lang — - tang - + g (^lang* ~ - lang* - j

ou bien

(33) -^6 = (^lang- ~lang-j j^3 (^i-+- tang- tang— j -h (^tang- -tang- j J

On a d'ailleurs

P ../ _- P

(34) '•-^-^^ '•'^-^^'

2 cos*— 2 cos* —

2 2

a* = /•'-+- r'* — 2/r' cos(fv' — w) =:(r-h /')* — 4^/''cos*

HOUVEMENT PARABOLIQUE. Il3

(I'OU

w' iV

(35) 2 ^rr' cos =:zh v'(r -h r' -j-a) (/*+ /*'— a);

on devra prendre le signe +, si Ton a

«'' — W < TT,

et le signe — , si I'on a Posons pour un moment

(36) \''-^'"r'^t'

et remplafons dans (35) ret r' par leurs valeurs (34); nous aurons

cos

iv' — iV

2

-h!/a«

iV w' p

COS— COS — '^

2 2

d'oii

(37) iH-lang-tang- =^-^

On tire ensuite des formulcs (34)

r-i-r

' = f (2+ tang«^ + tang« '-^)

ou bien, en ayant egard aux relations (36),

Ah-B

1 4- tang - tang ~j 4- (^tang— -tang-j ;

cela peut s'ecrire, a cause de (37),

A -4- B =p 2 v/ AB _

= (tang— — tang-j ;

d'ou, en remarquant que tang— — tang— est positif par hypothese,

(38) lang tang- = ^ — ^^r^^ —

2 2 y/p

II ne reste plus qu'a porter dans (33) les expressions (37) et (38). On T. - I. i5

Il4 CHAPITUE VI.

trouve

7"=-^-l — -p — ;•

3

On voit que le diviseur/?^ disparait, et il reste simplement ou bien, en remplacant A et B par leurs valeurs (36),

(/i) 6A-S=zi(/-4-r'H-(T)*i:p(r4-/-'— (7)*;

c'est la formule d'Euler que Ton attribue souvent, mais a tort, a Lambert; Euler Ta donnee le premier. On a vu plus haut comment le signe ambigu ± doit etre fixe dans chaque cas.

II convient d'insister sur cette formule; on pouvait exprimer a priori w et w' a Taide de rn- r^, de a et de/?; la formule (33) devait done donner pour G un resultat de cette forme

ce qu'il y a de remarquable dans la formule (A), e'est d'abord la maniere dont y entrent les quantites r-f- r' et a; mais c'est surtout le fait que p n'y figure plus.

C'est la raison du role fondamental que joue cette formule dans la belle me- thode d'Olbers pour la determination des orbites paraboliques des cometes.

37. Mouvement hyperbolique. — Si Ton suppose negative la constante a qui figure dans Tintegrale (B) des forces vives, le coefficient de cos(0 — o) dans la formule (4) est superieur a Tunite, et la trajectoire est une hyperbole dont le Soleil occupe un foyer. Ce cas parait etre realise pour quelques cometes et surtout pour certains bolides. Nous supposerons Tastre en mouvement sur la branche d'hyperbole qui tourne sa concavite vers le Soleil; le mouvement ne pourrait avoir lieu sur Tautre branche que si la force emanee du Soleil etait re- pulsive. Nous n'examinerons pas ce dernier cas, quoiqu'on ait a le considerer dans la theorie de la figure des cometes (Bessel, Faye, Boche, Bredichin, etc.).

La formule (4) nous donnera

— a(e»— r) I-f- ecosf^**

on obtiendra les points de la branche considcree en supposant que Mt^ varie de — fir — arc cos- j a -i- (t: — arccos-j; toutes les valeurs de rseront positives.

MOUVEMENT HYPERBOLIQUE. Il5

Cela pos^, pour obtenir les formules du mouvcment liyperbolique, nous pou- vons partir de celles du mouvement elliptique

II — esinu= -^^—jk ( ^ — t),

r r=a(i — ecosw),

U -h e

et nous les transformerons en posant

V/-i

a^ d^signant une quantite positive et u^ une quantite r^elle. Soil E la base des logarithmes neperiens; nous aurons

E'*« — E-«« E"« -h E-'*i

sin u r=i =^- , cos M —

2 ^' — I 2

u I E**! — I

etil en resultera, en choisissant convenablement le signe du radical qui figure dans tang-

2

E«. — E-". v/i> X.

e Ml := ^ ( / — t),

2 a, y/ai

(C') '\/rzra,|e I

E«. 4- E-**.

(r /e -\- I E"« — I

On peut introduire, au lieu de m,, une variable auxiliaire ^ definie par la formule

E«--tang(^^-i-^),

d'oii

E«t -H E-«. = -^ , E"' — E-". =1 2 lang.f ,

cos.f ° '

E'*i — I . ^i j^— = tang-;

si Ton introduit en outre la quantite auxiliaire /i| =i/-^ et £ = cy — w,t,

Il6 CHAPITRE VI.

on trouvera, en partant des formules (c'), cet ensemble de relations

K)

e langof — log tang ( j

r=za

tang

cos^

tang-,

^=:r[cos0cos(('— 0) — sin 0 sin (t'— 9) coscp], y:= r[sin0cos(p — 0) -i- cos 0 sin (i^ — ^)coscp], z = rsin(p — 0) sin 9.

La seconde de ces formules permettra de calculer Tinconnue auxiliaire § qui remplace Tanomalie excentrique; on obtiendra ainsi les coordonnees rectangu- laires heliocentriques exprimees en fonction du temps t et des six dements hyperboliques G, (p, tcr, e, a,, £.

38. Determination des 616ments du mouvement elliptique d'une pla- nMe, connaissant la position et la vitesse de la planMe k un moment donn6 ^0* — Cette question se presente tres souvent en Astronomie. Soient ^o> Jo» ^o> ^0 = V-^ J -H jj -H s J les coordonnees de la planete a Tepoque /,

^^ ^^'(Sl' y^ = {%): ^'o==(S)o '^' composantes de sa vitesse Vo = >J^'o -^y'o'^ ^0 9 au meme instant. GommenQons parune question accessoire :

Exprimer^ a Vaide des elements du mowement elliptique^ les trois constantes C, C\ C des intdgrales des aires, integrales (A) du n° 29.

On a done ces formules

(A)

^ dz

dy de

^, dx dz

Soit Q le point oil la sphere de rayon i, ayant pour centre le centre 0 du So- leil, est percee par la normale au plan de I'orbite, menee d'un tel cote qu'un observateur place les pieds en 0 et la tete en Q voie le mouvement de la pla- nete s'efTectuer de sa droite vers sa gauche. Je dis qu'on aura, dans tons les cas, en grandeur et en signe, les formules

(39)

C= ccos(Qa?), C— ccos(Q^), C^= ccos(Q^),

DlfeTERMINATION DES t LAMENTS DE l'oRBITE.

117

oil c (lesigne la quantite essentiellement positive v/f(JL/?, qui represente, comme on I'a vu, le double de Taire decrite dansTunite de temps par le rayon vecteur r de la planete.

II suflira de demontrer Tune des formules (Sg), la derniere par exemple; soient r^ la projection de r sur le plan des x,y, 3" Tangle que fait r" avec Orr, S" Taire decrite k partir d'une certaine position par le rayon r''; on aura

d'oii

dt -^ dt dt dt

On voit que C" represente ± le double de I'aire decrite dans I'unite de

d^"

temps par le rayon /^, suivant que -^ est positif ou negatif, c'est-a-dire suivant

que le deplacement de r" s'effectuc dans le sens ocy, ou dans le sens yx. Mais

Taire S" est la projection de Taire plane S decrite parr; le rapport^ est done

egal au cosinus de Tangle que fait le plan de Torbite avec le plan des xyy et Ton a, au signe pros,

(4o) C-Cdo^^Qz),

Or, si Tangle (Q^) est aigu, le mouvemcnt de r" s'effeclue dans le sens xy\ il s'effectue, au contraire, dans le sens j^r si Tangle (Q^) est obtus; done C" et cos(Qs) sont toujours de mcme signe, et la formule (4o) est generale.

Si Ton considere maintenant les triangles splieriques QNa? et QNj, N desi-

gnant le noeud ascendant de Torbite, et si Ton remarque que QN = -> Tappli-

cation de la formule fondamentale de la Trigonometric spherique donne imme- diatement

Icos(Qa?) == sinfsind, cos(Qj) — — sincpcosO;

on a d'aiileurs C0S(Q5) =::C0S9.

Les formules (Sg) et (40 nous fournissent done les relations cherchees,

C =/^--^== V^sin9sin0, {k) [ C' = 5 -^ — J? ^ =— v^fjjLpsincpcos^,

Il8 CHAPITRE VI.

Nous allons ecrire de nouveau les integrales (C) du n° 29, mais sous une forme un peu differente, en remarquant que I'on a identiquement

^ de ^ dt- dt\^ dt ^^ dt ^"^ dt) ""^dt^ ^ dt^ ^ dt^)-'^ dt dt ""^ '

• •

nous trouverons ainsi Cela pos6, les formules(^) et (C) appliquees a Tepoque /© donnent

C ^= J'o -^0 — -^0 / 0 » Ci "^^^ Zq Xq — ^c^o '

(/) (F=ffx^»+C'«'o-CY.,

F' = ffx =?!• 4- C'a?',- C «', ,

^0

-«»•

'0

ce qui determine, en fonction des donnees, les valeurs des six constantes C, C^C^ F, F, F'; on aura ensuite

(m) v/ffji/?sincpsin0=:C, v^f/jL/?sincpcos0 = — C, v^f|jL/?cos9=: C,

d'oiiy sans ambiguite, les valeurs des quantites/?, cp et 6. La formule (7), appliquee kl'instant /o> donne d'ailleurs

(n) i-l-Yl.

^^ a~ro fix'

d'ou le demi grand axe a de Tellipse ; on a ensuite

(o) ei = ,-i^,

ce qui fait connaitre rexcentricit^.

Nous appliquerons maintenant les formules (C|) au momenta 011 la planete passe a son perihelie; nous d^signerons par X|, Y|, Z^ les coordonnees de

DETERMINATION DES ELEMENTS DE l'oRBITE. II9

ce point, et par r, = a(i — e) = y^XJ -f- YJ -f-ZJ la distance perihelie. Nous aurons, a ce moment, ^ = o, puisque r< est un minimum. La formule (7) donne d'ailleurs

d'oii

Les formules (C,)donneront done

,f . X, F Y, F Z, F'

Remarquons en passant qu'il rcsulte dc la unc representation geometrique simple des constantes F, F', F"; ces quantites sont, en effct, les projections sur les axes d'une longueur egale a f(JL^ portee sur le grand axe de Tellipse a partir du foyer 0, dans la direction du centre.

On deduira des formules (42) les cosinus directeurs du rayon mene au peri- helie; mais il est preferable d'obtenir la longitude xs du perihelie. Or les for- mules (rf) donnent

— i =cos0cos(gj — 6) — sin0 sin(cy — 5) COS9,

Y

(43) ( — = sin() cos(cy — 6) -r cos9sin(cy — 9) COS9,

/

-;- :=i sin(Gj — y) sm9;

X Y

en portant les valeurs de ^ et de -- dans les deux premieres formules (42), et

resolvant par rapport aux inconnucs e cos(gj — 0 ) et esin(GT — 0), il vient

f|jLecos(cy— ^j — — Fcos^ — F'sin(?,

(/>) \ c ' i r., FsinS-Fcos^

^ coso

On aura done sans ambiguUe e* etcr; la valeur ainsi trouvee pour e devra coincider avec celle qu'a donnec la formule (o).

Reste a calculer la longitude moyennc de I'epoquc, e; on aura, en desi- gnant par u^ Tanomalie excentrique et par ^^o la longitude dans Torbite,

I20 CHAPITRE VI.

tang -^- = y/f^^ tang ^^^ ,

£ = GT — n^o ^- ("o— ^ sin Mo)

II n'y a plus qu'a trouver Tq; or on tire aisement des trois dernieres for- mules (d)

I /'oCOsCro— 0) = J?oCOS^-h/oSin^,

('*) 1 . / rv — oToSin^-h VoCOsQ z

[ ^ ' coscp sincp

0

>

ce qui donnera v^ et aussi r© qui est deja connu.

Les formules (/), (m), (n), (o), (^), (y), (r) font connaitre les valeurs des elements cherches, a, e^ (p, 0, gt, e.

La solution obtenue ne laisse rien a desirer au point de vue de la rigueur; il est possible d'abreger les calculs numeriques et d'obtenir des verifications des calculs, autres que celles que nous avons indiquees ; mais nous n'insiste- rons pas.

39. Determination des SUments du mouvement parabolique d'une co- mMe, connaissant la position et la vitesse de la comMe 2l un moment donn6 t^. — Les donnees devront verifier la relation

Les formules (/) et (m) determineront sans ambiguite les elements cp, 6 et

' 2

On trouvera de meme tor sans ambiguite par les formules que Ton deduit de (/>), en y faisant ^ = i , savoir

If|jLCOS(Tiy— 0)— — Fcos0 — F'sin^, . . , ., Fsin^ — Fcos^ fasm(Tiy— 0)= : ^ coscp

si C0S9 est petit, on pourra, pour avoir plus de precision, calculer par la for- mule

F'

(pt) fasin(iiJ — 0) = : — >

hodograpiif:. 121

Z

qui se deduit de la dcrniere des relations (43), en y remplacant ~ par

Les formules (r) donneront v^, apres quoi on tirera de la premiere des for- mules (g)

(7.) ,^,,_iL_?|^tang-^-4-itang'-— J;

le probleme sera done resolu par Tensemble des formules (/), (m), (pt) ou(/?2), (r)et(y.).

40. Hodographe. — Hamilton a resolu la question suivante :

Par le centre Odu Soleil, on mene des droites egales etparalleles auxvitesses d'une planetc ou d'une comete dans les divers points de son orbite. On demande de trouver le lieu des extremites de ces droites; ce lieu se nomme Vhodo- graphe.

Partons des integrales (C), et supposons, pour simplifier, que Ton ait choisi le plan de Torbitc pour plan des xy, Taxe des x passant par le perihelie. On aura

Z^Oy (] = O, C'=:0, C* = y/f |JL/> =: c ;

les formules (42), dans lesquelles on a maintenant

	^-	^-
donneront

fpe, r^-¥'--o;

les equations (C) deviendront done

« r ^^

Mais lescoordonneesa:',y du point de Thodographequirepondau point (x,/)

rl.r ^ dy (U ^^ dt

ont respectivcment pour valeurs -^ et -^- On aura done

f^^ riic/— f/xe,

fa— = — ex ;

T. ~ I. 16

122

CHAPITRE VI. — HODOGRAPHE.

d'oii, en elevant au carre et ajoutant,

a?'»H-

(^-Vf)"=¥-

le rayon de ce cercle est \/'-^' et Tordonnee de son centre est e

Done Thodographe est un cercle ayant son centre sur la perpendiculaire menee par le centre du Soleil au grand axe de I'ellipse, ou a Taxe de la parabole ;

V p

Dans Isijig. i5, la demi-circonference A,B| A', repond a la demi-ellipse ABA'; dans le cas de la parabole, Thodographe est tangent a Taxe au foyer; enfin, pour