Google

This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project

to make the world's books discoverable online.

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject

to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books

are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the

publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken steps to prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. We also ask that you:

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for personal, non-commercial purposes.

+ Refrain fivm automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each file is essential for in forming people about this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.

About Google Book Search

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web

at|http: //books .google .com/I

Google

A propos de ce livre

Ccci est unc copic num^rique d'un ouvrage conserve depuis des generations dans les rayonnages d'unc bibliothi^uc avant d'fitrc numdrisd avoc

pr&aution par Google dans le cadre d'un projet visant ii permettre aux intemautes de d&ouvrir I'ensemble du patrimoine littdraire mondial en

ligne.

Ce livre etant relativement ancien, il n'est plus protege par la loi sur les droits d'auteur et appartient ii present au domaine public. L' expression

"appartenir au domaine public" signifle que le livre en question n'a jamais ^t^ soumis aux droits d'auteur ou que ses droits l^gaux sont arrivds &

expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombc dans le domaine public peuvent varier d'un pays ii I'autre. Les livres libres de droit sont

autant de liens avec le pass^. lis sont les t^moins de la richcssc dc notrc histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine ct sont

trop souvent difRcilement accessibles au public.

Les notes de bas de page et autres annotations en maige du texte pr^sentes dans le volume original sont reprises dans ce flchier, comme un souvenir

du long chemin parcouru par I'ouvrage depuis la maison d'Mition en passant par la bibliothi^ue pour finalement se retrouver entre vos mains.

Consignes d 'utilisation

Google est fler de travailler en parienariat avec des biblioth&jues a la num^risaiion des ouvragcs apparienani au domaine public ci de les rendrc ainsi accessibles h tous. Ces livres sont en effet la propriety de tons et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine. D s'agit toutefois d'un projet coflteux. Par cons6juent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources in^puisables, nous avons pris les dispositions n&essaires afin de pr^venir les ^ventuels abus auxquels pourraient se livrcr des sites marchands tiers, notamment en instaurant des contraintes techniques relatives aux requfites automatisdes. Nous vous demandons ^galement de:

+ Ne pas utiliser lesfichiers & des fins commerciales Nous avons congu le programme Google Recherche de Livres ^ I'usage des particuliers. Nous vous demandons done d'utiliser uniquement ces flchiers ^ des fins personnelles. lis ne sauraient en effet Stre employes dans un quelconque but commercial.

+ Ne pas proc^der & des requites automatisees N'envoyez aucune requite automatisfe quelle qu'elle soit au syst^me Google. Si vous effectuez des recherches concemant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractferes ou tout autre domaine n&essitant de disposer d'importantes quantit^s de texte, n'h^sitez pas ^ nous contacter. Nous encourageons pour la realisation de ce type de travaux I'utilisation des ouvrages et documents appartenant au domaine public et serious heureux de vous etre utile.

+ Ne pas supprimerV attribution Le flligrane Google contenu dans chaque flchier est indispensable pour informer les intemautes de notre projet et leur permettre d'accMer h davantage de documents par I'intermediaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en aucun cas.

+ Rester dans la Ugaliti Quelle que soit I'utilisation que vous comptez faire des flchiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilitd de veiller h respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public americain, n'en d^duisez pas pour autant qu'il en va de m£me dans les autres pays. La dur^e legale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays ^ I'autre. Nous ne sommes done pas en mesure de rdpertorier les ouvrages dont I'utilisation est autorisee et ceux dont elle ne Test pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afflcher un livre sur Google Recherche de Livres signifle que celui-ci pent etre utilise de quelque fa§on que ce soit dans le monde entier. La condamnation h laquelle vous vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur pcut £tre s6vtre.

A propos du service Google Recherche de Livres

En favorisant la recherche et Facets ^ un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le frangais, Google souhaite contribuer h promouvoir la diversite culturelle gr§ce ^ Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet aux intemautes de decouvrir le patrimoine litteraire mondial, tout en aidant les auteurs et les editeurs ^ eiargir leur public. Vous pouvez effectuer des recherches en ligne dans le texte integral de cet ouvrage h I'adressefhttp: //books .google . coinl

£^^6}

^ezsi

Tt>

mf

I v./

1 £.^

rtAictHf^kc

1 tf^it.

^«Uii\.4iJaiVG UB«Ai?y

MliC

TIUITE

t)t-:

ANiailE CELESTE

F. TISSEUAM),

TOME I.

PERTDRBATIOHS DES PLANtTES D'APRllS LA HETHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES.

PAIUS.

ilAUTMlEU-VII.LAHS KT FILS, IMl'lUMKL'KS-UHIt MllliS

DU It U II F. A II l>ES LON UlTUDKS, I>K I. Ii C 0 1. 1 I< C) t. V T K ('. ri M Q r t ,

PREFACE.

Le Traite de Mccanique celeste, dont je public aujourd'hui la pre- miere Partie, a pour base les Lecons que j'ai faites a la Sorbonne depuis i883 comme suppleant, puis eomme successeur de M. V. Puiseux. Les Lecons de ce Maitre Eminent brillaient par une clarte incomparable, et c'esl un grand dommage pour la Science qu'elles n'aient jamais ^te publiees. Je suis heureux de les avoir suivies pen- dant plusieurs ann^es, et les Aleves de M. Puiseux en retrouveront des traces nombreuses dans mon Ouvrage.

Le Tome I comprend la th^orie generale des perturbations, fondee sur la methode de la variation des constantes arbitraires.

Dans le Tome II, je traiterai de la figure des corps celestes et de leurs mouvements de rotation.

Le Tome III sera consacre a la th^orie de la Lune, h. un abrege de la th^orie des satellites de Jupiter, a la methode de Hansen pour le calcul des perturbations des petites planetes et aux divers travaux qui ont enrichi le domaine de la Mecanique celeste dans ces dernieres annees.

Le present Volume est susceptible, je Tespere du moins, d'inte- resser les geometres et les astronomes. J'ai presente la methode de la variation des constantes arbitraires, on plutot son application a la Mecanique celeste, de deux facons diflFi^rentes, en me reportant aux travaux de Jacobi ou a ceux de Lagrange.

Cette methode n'oflre peut-etre pas toujours le moyen le plus rapide d'arriver au calcul des perturbations, notamment quand il s'agit des ast^roldes; cependant, au point de vue de I'enseignement, elle est d'une grande simplicite.

VI PREFACE.

Dii reste, elle a perinis a Le Verrier cl'(5difier ses theories des an- ciennes planetes. Les formiiles qui lui ont servi constamment dtins reiisemble imposant de ses recberches sont adaptees avec un rare talent aiix besoins de la pratique, et j'ai ju{?e utile de m'y eonfornier.

J'espere que les jeunes astronomes qui voudront etudier ce premier Volume n'eprouveront aueune peine a s'assimiler ensuite tons les details des theories de Le Wrrier, telles qu'elles ont ete publiees dans les Annalcs de VOhscrvatoire.

J'ai eru devoir eonsacrer un Chapitre a la decouverte de Neptune, qui a fourni la confirmation la plus eclatante de la theorie de la gravi- tation.

Bien que le Volume actuel traite surtout de Tapplieation de la me- thode de la variation des oonstantes arbitraires, j'y ai donne nond)re de resultats qui appartiennent aux methodes de Hansen, dont Texpo- sition dans le Tome III aura ete ainsi notablement facilitee.

II va sans dire que, si le lecteur pent, avec le Traite actuel, s'initier assez facilement aux details d'une science ardue, il ne sera pas dis- pense, s'il veut la penetrer plus profondement, de recourir an grand Trnit^ de Laplace, dont tons les Chapitres prdsentent encore aujour- d'hui aux astronomes les plus exercc^s des sujets varies de meditations f^condes.

Je dois adresser de vifs remerciements a MM. (Jauthier-Villars, qui ont apporte a Timpression des soins minutieux et auront contribue ainsi a faciliter la lecture de TOuvrage.

J'aiplaisiraremercier aussitoutparticulierement M. O. Callandreau, qui ne s'est pas borne a m'aider dans la revision des epreuves, mnis m'a donne souvent des conseils judicieux.

lo noveinbro i88S.

TABLE DES MATIERES

DU TOME I.

INTRODUCTION.

Pages.

Aquation g<^n6ralo do la Dynamique i

Principe d^Hamilton jl

Aquations de Lagrange 5

Forme canonique d*HamiIton 7

Th6or6me d'Hamilton 11

Th6or6me de Jacobi : i4

Cas ou la fonclion dos forces est ind6pcndanto du temps 18

Relations de Jacobi 20

CHAPITRE I.

Recherche de la force qui produit le mouvement eili[)lique des planetes 9.5

Probl6me inverse. Trajectoiros r6sullant de la force centrale —^ '■^8

Loi de ia gravitation univorsolle 3 1

Orbites des 6toiles doubles 35

Recherche de la force qui produit les mouvements des 6toiles doubles 3G

Probl6me de M. Bertrand 43

Th6or6me de Newton 49

CHAPITRE II.

G6n6ralit6s sur Fatlractiou 5i

Potentiel 52

Aquation de Laplace 55

Attraction des couches 8ph6riques homog6nes 55

Attraction d*un corps sur un point 61oign6 59

CILVPITRE III.

Aquations difl^rentielles des mouvements absolus des planetes 64

Les dix int^grales connues 67

Aquations diffdrentielles des mouvements relatifs dos planetes autour du Soleii 70

Les quatro int^grales connues 72

T. - 1. b

VI PUEFACE.

Dii reste, elle a perinis a Le Verrier d'edifier ses theories des an- ciennes planetes. Les formiiles qui lui ont servi constamment dans Tensemble imposant de ses recherches sont adaptees avec iin rare talent anx besoins de la pratique, et j'ai juge utile de m'y eonfornier.

J'espere que les jeunes astronomes qui voudront etudier ce premier Volujne n'eprouveront aucune peine a s'assimiler ensuite tons les details des theories de Le Verrier, telles qu'elles ont ete publiees dans les Anmdes de I'Ohservatoire.

J'ai cru devoir consacrer un Chapitre a la decouverte de Neptune, qui a fourni la confirmation la plus cclatante de la theorie de la gravi- tation.

Bien que le Volume actuel traite surtout de rapplication de la me- thode de la variation des constantes arbitraires, j'y ai donne nombre de resultats qui appartiennent aux methodes de Hansen, dont I'expo- sition dans le Tome III aura ete ainsi notablement facilitee.

II va sans dire que, si le lecteur pent, avec le Traite actuel, s'initier assez facilement aux details d'une science ardue, il ne sera pas dis- pense, s'il vent la penetrer plus profond(5ment, de recourir an grand Trait^ de Laplace, dont tons les Chapitres prdsentent encore aujour- d'hui aux astronomes les plus exerces des sujets varices de meditations f^condes.

Je dois adresser de vifs remerciements a MM. (lauthier-Villars, qui ont apporte a Timpression des soins minutieux et auront contribue ainsi a faciliter la lecture de TOuvrage.

J'aiplaisiraremercier aussitoutparticulierement M. O. Callandreau, qui ne s'est pas borne Ji m'aider dans la revision des epreuves, mais m'a donne souvent des conseils judicieux.

lo novombre 1888.

TABLE DES MATIERES

DU TOME I.

INTRODUCTION.

Pages .

Aquation g<^n6raIo do la Dynamique i

Principe d'llamilton a

Equations de Lagrange 5

Formo canonique d'Hamilton 7

Th6oreme d'Hamilton 11

Th6or6me de Jacobi 1 4

Cas ou la fonction des forces est ind6pendante du temps 18

Relations de Jacobi 20

CHAPITRE I.

Recherche de la force qui produit Ic mouvoment eiliplique des planetes '^5

Probl6me inverse. Trajectoires r6sultant de la force cenlrale —J- 78

Loi de ia gravitation universelle 3 1

Orbites des 6toiles doubles 35

Recherche de la force qui produit les mouvements des ^toilos doubles 3G

Probl^me de M. Bertrand 43

Th6orfeme do Newton 49

CHAPITRE II.

G6n6ralitds sur Tattraction 5i

Potentiel 62

Equation de Laplace 55

Attraction des couches sph6riques homogenes 55

Attraction d*un corps sur un point 61oign6 59

CHAPITRE in.

Equations dif{4rentielles des mouvements absolus des plan6tes 64

Les dix int6grales connues 67

Equations diff^rentielles des mouvements relatifs des planetes autour du Soleil 70

Les quatro iut6grales connues 72

T. - I. b

VIII TABLE DES MATlfeRES.

CIIAPITRE IV.

Page*.

Forme sym^triqiic dcs 6(iuations difT^ronticlIos des mouvements relatifs des plan^les autour du

Soloil 77

Los (|uatro inl6grale8 conniies 85

CILAPITRE V.

ftquations diffcrentiolles des mouvements avoc les coordonn^es polaircs 87

Formes divorses do ces C(iaalion3 90

CHAPITRE VL

Equations difTorentielles du probl^mo des deux corps 93

Int^gralcs premieres 95

Determination de I'orbite 97

Caicul de la position dans I'orbite. Equation de Kepler 100

Calcul de la position h61iocentri(iuc. £l6ments du mouvement elliptique lo {

Formulcs du mouvement elliptuiue 1 07

Maximum de r6quation du centre 109

Mouvement paraboliquo des comctes no

Th6or6me d'Euler 11-2

Mouvement hyperbolique 1 1 1

Determination des 616ment8 du mouvement elliptique 1 iG

Determination des 6I6ments du mouvement parabolique 1 'j>o

Hodographe rii

CHAPITRE VII.

Integration dcs ecjuations difforcntielles du mouvement elliptique par la methode de Jacob! i!23

Elements canoniques<

i>.7

CHAPITRE VIII.

Recherches de Lagrange sur le probieme des trois corps 128

Cas particuliers remarquables 1 47

CIUPITRE IX.

Methode de la variation des constantes arbitraircs. Variation des elements canoniques. Leurs

derivees 1 59

Elements osculateurs 166

Derivees des elements elliptiques 169

Transformation utile do quatre do ces elements 170

CHAPITRE X.

Variation des constantes arbitraires. Methode de Lagrange 1 73

CHAPITRE XI.

Considerations generates sur les perturbations planetaires 189

Perturbations des divers ordres .... 195

TABLE DES MATlilRES. IX

Pared.

Perturbations du premier ordre igG

Inegalit^s p6riodiques . 197

In^galit^s s6culaires 198

In6galit6s k longues periodos. . . 199

Perturbations du second ordre 'uri

CIIAPITRE Xll.

Fonctions de fiessel. Leurs propri^tes principalcs tioft

CHAPITHE Xlll.

Applications des fonctions de Bessei au mouvement elliptique ai >

Developpements divers qui so rattachent au mouvement elliptique 2*22

CHAPITHE XIV.

Tli^oreme de Cauchy 228

Nombres de Cauchy 234

(r X"* 1 j 237

(?)

m

» 0 de ( - ) 239

0 » de r^quation du centre 242

0 » de certaines fonctions des coordonn^es d'une plandte 245

CHAPITRE XV.

(r\n / r \ «

- j sinm(i' et I - ) cosmw. . . . 249

CHAPITRE XVI.

Convergence des series du mouvement elliptique 2G2

Apergu de la demonstration de Laplace pour trouver la limite de Texcentricitd 266

CHAPITRE XVII.

Propri6t6s di versos des fonctions de a qui repr^seutent les coefficients des cosinus des multiples de ^ dans le d6veloppement de I'expression (i -+- a«— 2a cos<j^ ) -*. - - M^tiiodes diverses pour ie calcul de ces fonctions ot do leurs d6riv6es 270

CHAPITRE XVUI.

D6veIoppement de la fonction perturbatrice dans lo cas ou les excentricit6s et les inclinaisons mutuelles des orbites sent peu considerables. Ordres des divers termes du d6veloppement. 292

CHAPITRE XLX. Transformation des d6riv6es des elements elliptiques 32 1

CHAPITRE XX. Formoles de Le Verrier donnant les perturbations du premier ordre des Elements elliptiques 33o

X TABLE DES MATlfeRES.

CHAPITRE XXI. Perlurbations du premier ordre dos coordonn6es h61iocentriques SOo

CHAPITRE XXII.

Premiers termes dos perturbations p6riodiques des coordonn^es h^liocontriques Sjcj

CHAPITRE XXIII.

D6couverte de Neptune 374

CHAPITRE XXIV.

Perturbations du second ordre par rapport aux masses 387

CILVPITRE XXV.

Theoreme de Poisson sur rinvariabilit6 des grands axes dans la deuxidme approximation par rap- port aux masses 391

CHAPITRE XXVI.

Expressions gdn^rales des in6galit6s sdculaires. Travaux de Lagrange et de Laplace. Formules numeriques de Le Verrier. Indications sur les expressions g6n6rales des coordonn^es dans . le probleme des trois corps 404

CHAPITRE XXVH. Mdtbode de Gauss pour le calcul des in^galit6s s6culaires. Exposition de M. Halphen 43 1

CHAPITRE XXVIU.

D6veloppement de la fonction perturbatrice lorsquo Tinclinaison mutuelle des orbites est consi- derable 443

CHAPITRE XXIX. Transformation de Hansen pour les Equations difr6rentielles du mouvemont des plan6tes 46>

FIN DE LA TABLE DES UATIERES DU TOME I.

TRAITfi

DE

MECANIQUE CELESTE.

TOME 1.

INTRODUCTION.

1. Equation gtoirale de la Dynamique. En combinant le principe de d'AIembert avec celui des vitesses virtuelles, Lagrange a pu condenser en une seule equation symbolique les equations du mouvement d'un systeme quel- conque de points materiels soumis tons, ou quelques-uns seulement, a des forces donn^es.

Cette equation est

OU encore

(')

l'-{^^--^'^^y^w*^')=l^''^-'-^'^^^-^^^'^-

x^ y^ z designent les coordonnees rectangulaires d'un point quelconque du systeme; m sa masse; X, Y, Z les composantes paralleles aux axes de la resul- tante des forces directement appliquees a ce point. Cette equation (i) doit avoir lieu pour tons les systemes de valeurs des variations infiniment petites %x^ ^y^ ^^y des coordonnees x^ y^ z^ ... compatibles avec les liaisons du sys- teme; dans cette meme equation, le 2] ^^ premier membre s'etend a tons les

points du systeme, et celui du second seulement a ceux de ces points auxquels

des forces sont appliquees.

T. - 1. I

2 INTRODUCTION.

Les liaisons seront representees par un certain nombre d'equations, tellesque

/(^ ^fff -; ^'f ...) = o>

(a) { 9(^ ar,7, z; a:', ...)=:o,

Les variations So?, Sy, ... devront verifier les equations suivantes

dx dy ^

obtenues en differentiant les equations (2) par rapport a la caracteristique S sans faire varier le temps /.

On sait comment, en introduisant les facteurs indetermines de Lagrange, on tire de ce qui precede les equations differentielles du mouvement des divers points du systeme.

Nous allons transformer Tequation (i) de maniere a en deduire le principe d'Hamilton.

2. Principe d'Hamilton. Soit, dans le systeme considere, n le nombre des points materiels et, par suite, 3/i le nombre des coordonnees a?, y, . . . ; si 3n k designe le nombre des equations (2) de liaison, on pourra tirer de ces equations les valeurs de 3n * coordonnees en fonction de / et des k autres qui pourront etre considerees comme des variables independantes; pour plus de symetrie, on pourra dire que, en partant des equations (2), il est possible d'ex- primer toutes les coordonnees en fonction de / et de ^ variables independantes q\f y2» •••» y*; on aura, par exemple,

Les variations infiniment petites S^i, ^q^, ..., ^qk pourront etre absolument quelconques; quant aux variations ^x, Sj, qui figurent dans Tequation (i), on les calculera ensuite par des equations analogues a la suivante

(3) 3^=_3^,+ _.3^,^...^._3^„

obtenues en differentiant Texpression de x par rapport a la caracteristique S sans faire varier le temps. Pour arriver au principe d'Hamilton, nous allons considerer les Iqi, qui

INTRODUCTION.

peuvent etre quelconques, comme des fonctions de /, fonctions arbitraires, mais infiniment petites; en partant de la, nous transformerons Tequation (i); les Sic, 8y, ... seront des fonctions de / determinees par les formules (3), et nous pourrons ecrire

d ( dx ^ \ dx dix

~di dt

d^x ^ d /dx ^ \

-y-- ox =1 -r { —r- 0^ I dt* dt \ dt J

Pour une valeur donnee de /, quand on change a? en ar-h ^x, \\ en resulte dans

dti (V d T*

■-r- le ehangement 5-^; on aura done

dx d{x -\- 8x) dx

'dt ~" di Tit

ou bien

d dx ^ dx dt dt'

on en conclut

dx ddx dx ^dx , ;tf^^\^

dt 'TIT ~"dt 'dt"^ \dt) '

d^x

et Texpression de -t-^- 8x devient

/ /v ^^ ^ d ( dx ^ \ , ^ (dx\*

De cette equation et des equations analogues concernantj", z^x\ ..., on deduit

wi (d}x^ d*y ^ d^z ^ \

On voit s'introduire dans cette equation la demi-force vive du systeme; nous la representerons par T :

Si nous posons

(7) }^{\ SX H- Y dv H- ZOZ) r-r U',

mr-.

4 INTRODUCTION.

Tequation (i) donnera, en ayant 6garcl aux formules (5), (6) et (7),

Le second membre de cette equation ne contient plus rien qui se rapporte au

systeme de coordonnees employe, carT = - ^mv* n'en depend pas, et il en est

ainsi de U' qui, par sa definition meme, represente la somme des travaux des forces pour le deplacement virtuel caract^rise par 8x, Sj, ....

II en est de meme aussi du premier membre de i'equation (8), car I'expression

djT ^ dv ^ dz ^ dt dt ' dt

represente le produil de la yitesse^^du point M par la projection, sur la direction de cette vitesse, du deplacement virtuel h du meme point M (Is a pour projec- tions sur les axes Sa?, 8y, Ss).

Multiplions Tequation (8) par dt et integrons entre et f\ <l^ux valeurs quel- conques de /; nous trouverons

(9) [2 - ^-r ^ I ,y -. g ^')X-(\^'^ - ^' ) ''^

oil le premier membre represente la difference des valeurs que prend, pour

t = t^ et / = /, , Texpression 2'^("^^^"^"^^-^'^57 ^^) '

Si nous imposons aux variations ^qi la condition de s'annuler pour / = /o et i = ti9 il en sera de meme des variations Sa?, Sj, ..., et Tequation (9) donnera

(10) f(oT-^ {]')dt"o;

cette formule constitue ce qu'on appelle \e principe d Hamilton.

Dans un cas tres general, il est permis de simplifier Tequation (10) : c'est le cas oil il existe nne/onction des forces U, c'est-a-dire oil Ton a

da: oy oz

^^-^F" '

la fonction U est supposce ne dependre que des coordonnees x,y, z, x', ... des divers points du systeme et du temps / qui peut y figurer explicitement.

INTRODUCTION. 5

En se reportant a la definition de U', on trouvera

et Inequation (lo) s'ecrira

r'(dT-i-3U)--r. o

ou, plus simplement,

(II) a f (T~i \])dt—o;

ainsi la variation de Tintegrale /^ (T -f- l])dt doit etre nuUe.

Nous supposerons desormais Texistence d'une fonction des forces, de la na- ture indiquee, ce qui se trouvera realise dans les applications a TAstronomie dont nous aurons a nous occuper.

3. Equations de Lasrrange. Le principe d'Hamilton se prete tres faci- lement a la transformation des equations differentielles du mouvement d'un systfeme, lorsqu'au lieu des coordonnees rectangulaires on introduit d*autres variables pour determiner les positions des divers points du systeme.

Supposons que, a I'aide des equations de liaison (2), on ait exprime les co- ordonnees 07, y^ 5, x\ ... de tons les points du systeme en fonction de / et des £ variables ind^pendantes q ^ , q^, ..., qj^. Posons d'une manibre generate

dqi

Texpression (6) de T prouve que cette quantite deviendra une fonction de /, de y,, ya, ..., qk et de q\^ q^, ..., q\; U ne dependra que de / et de y,, y^, ..., q/^. On sait qu'en diflerentiant par rapport a la caracteristique S on doit regarder comme constant le temps qui figure explicitement dans les equations de liaison; on aura done

i— 1

puis

"■^-2:^''-2: ??,''"

1=1 1=1

6 INTRODUCTION.

en portant ces expressions de SU et de 8T dans (i i), il viendra

(i3)

m.

dq

dqk

)H

dt

or on a

•0

o;

ou bien, en integrant par parties.

[%<-{''-^'^--

Mais, puisque les variations Sy, sont supposees nulles pour / = /^ et pour / = /|, il vient

ri^'=*=-/''-^^""-

et Tequation (i3) peut s'ecrire

(

'^U, \l-^t 5^;— J^^'-^- -^L-^^

T + U)

dqjt

dgjt \dt = o.

Cette equation doit avoir lieu quelles que soient ies variations infiniment pe- tites S^o ^?2* ••• qui sont independantes les unes des autres; on en conclut que Ton doit avoir identiquement

\dq\ )

dl

(i5)

\dg'J

dt

dqt dqt ~" '

\ dt

dqu dqk~~ '

car, si ces quantites n'etaient pas identiquement nulles, on pourrait donner aux

INTRODUCTION. 7

variations Sy,, 0^2* ••• dcs signes tels que, pour toutes les valeurs de / comprises entre t^ et /,, chacune des expressions

soit constamment positive, et alors, tons les elements de Tintegrale (i4) ayant le meme signe, cette integrale ne pourrait pas etre nulle.

Les equations (r5) sont dites equations de Lagrange; elles ont ete donnees pour la premiere fois par ce grand geometre.

On voit done qu'aussitot que, dans les problemes de Dynamique consideres, on a fixe le choix des variables independantes a Taide desquelles on pent ex- primer les coordonnecs de tons les points du systeme, on est a meme de former sans elimination, par un calcul elegant et facile, les equations different! elles propres k determiner les variables introduites.

4. Forme canonique d'Hamilton. ~ Nous considerons maintenant les problemes de Dynamique dans lesquels les liaisons sont independantes du temps; nous admettons toujours qu'il existe une fonction des forces, depen- dant seulement, comme nous I'avons dit, des coordonnees des divers points, et pouvant contenir explicitement le temps.

Soient 7,, q^, ...9 qn l^s variables independantes a Taide desquelles on pent exprimer les coordonnees de tous les points ; on aura, puisque les liaisons sont independantes du temps, des expressions de cette forme

y ^{iu qu ••., qk).

d'oii, en representant comme precedemment par q\ la derivee -^S

dx , dY ,d¥ ,

dy , d<l^ , d<b , d<l^

En portant ces valeurs dans

'-=2"mH^)Hm

8 INTRODUCTION.

on trouvera un resultat de cette forme

On voit que T est une fonction homogene et du second degre des variables q'; les coefficients A|,,, A|,2t ••• sont des fonctions des variables q ne contenant pas le temps explicitement. Les variables q seront determinees par k equations diflerentielles, telles que

\dqj dT _d\}

quand, apres avoir forme la derivee partielle (^J> on remplacera y',, q\^, .. .

respectivcment par -^> -^> > on voit que Tequation (17) sera une equation

differentielle du second ordre. Le probleme dependra done de Tintegration de k equations differentielles simultanees du second ordre.

Nous aliens actuellement faire un nouveau changement de variables en po- sant

(18) W^^^'' 5^"^*' ••' Wk^^''

nous remplacerons les k variables q\ par les k nouvelles variables y^. Si Ton tient compte de (16), les equations (18) pourront s'ecrire

( P\ A, ,1^1 + A,,j7; -h . . . + ki^kq'ky

('9) I pi A,,,7;-h A,,,^; 4-...-i-A,,*^i,,

En resolvant ces ^equations du premier degre, on aura les valeurs de q\, y'j, ..., q\ en fonction dep^^p^^ ••♦/^a et de ^r,, q^, ..., y*, et si Ton reporte ces valeurs dans (16), on trouvera un resultat de la forme

aT B,,,/[>J-i- 3B,,5/>,/>, -}-. . .-\-2Bt^kPiPk

oil les coefficients B,,,,B|^a, ... seront des fonctions dey,, ya, "-^ qk

INTRODUCTION. 9

Quant a la fonction U, cllc ne changera pas, puisqu*elle est supposee ne pas contenir les variables q\

T, qui etait d'abord une fonction des variables y/Cty'^, devient maintenant une fonction des variables y,- et/?, ; d'apres ce qu'on a dit plus haut, qi n'entre pas de la noeme maniere dans les deux expressions de T; il convient de designer

par 3— 'a derivee partielle de T prise dans Thypothese des variables qi et y'^;

la derivee prise dans Thypothese des variables y, et/?/ sera representee simple-

&\ ment par -^

L'equation (17), en ayant egard a (18), s'ecrira done

(20)

dt

On aura, pour la differentielle totale de T prise dans le premier cas,

<"=2[S]*-2:f;*

OU

et, pour la meme diflerentielle totale prise dans le second cas,

On a eniin, en appliquant le theoremc des fonctions homogenes ^ T,

OU bien

d'oii

En retranchant de cette equation I'equation (21), il vient

T. - I.

lO INTRODUCTION.

et, en comparant les deux expressions (aa) et (24) de dt, on trouve

(a5)

Ugi] ~

dqt

91

dpi'

cette derniere equation pent s'^crire

(a6)

On tire, du reste, de (20) et (aS),

dq, _ dT

dt dpi

(V)

dpi <JT ^U

dt dqt dqt

En dormant a i les valeurs i, 2, ..., k, les equations (26) et (27) presentent le resultat cherche sous la forme de 2^ equations differentielles simultanees du premier ordre, d'aspect tres simple.

Mais on peut obtenir enoore plus de symetrie en introduisant une notation speciale pour representor la difference T U et posant

H=:T-U;

si Ton remarque que, par hypothese, U ne contient pas les variables pi, on voit que

dpi "~ dpi

On a, du reste,

dqi~ dqt dqt'

et les formules (26) et (27) deviendront le type des equations du groupe sui- vant :

I H=:T-IJ,

(a8)

dq, d\l dt dpx

dq, ^ dVL dt dp.

dp, dn

dt dqi

dp^ dn

dt dq.

dq, ^ dVi dt " dpk

dpk d^ dt dqk

II resulte de la que la resolution d'un probleme quelconque de Dynamique

INTRODUCTION. 1 1

(avec les restrictions enonceeS) se ramene a Tintegration d'un systfeme do a^ equations differentielies simultanees du premier ordre dans lequel les va- riables sont conjugueesdeuxadeux; laderivee del'une quelconque des variables par rapport au temps est egale a la derivee partielle d'une meme fonction H, prise par rapport a la variable conjuguee, ou a cettc derivee changee de signe. Ces equations (28) sont dites ramenees a la forme canonique.

5. ThSor&me d'Hamilton. Supposons que Ton ait integre les ik equa- tions differentielies simultanees (28); on aura done exprime les variables qi et Pi en fonction de / et de 2k constantes arbitraires c,, c^, ..., ^2;^; on pourra exprimer de la meme maniere la fonction H. Cherchons, dans cette supposition,

la derivee partielle -t-\ nous aurons

(JH __ OR dp, ()H dpt (?H dpk

dci dpi dci dpt dci ' dpk dct

m dq, dn dqt dR dgk

dgi dci dqt dci ' " dg^ Oct

ou bien, en tenant compte des equations (28),

dR dg, dpx , dg^ dp^ , , dg^ dpk

dCi dt dCi de dCi " ' de dci

___ dp^ dgx _ dp^ dgi __ _^ €ipk Ogjc

de dci de Oci ' " de dci ce que Ton pent encore ecrire

dR d ( dg, dg^ dgk\

d ( dgx dgt dgk\

ou encore, a cause de la relation (23),

[ 2(?T d / dgi dg^ dgA

]='d^''de\^'d^'^^'d^s'^''^^''dirj

dR 2dT dc

On en tire, en remplagant H par T U,

(J(T-hU)_ d / dgi dg^ dg

dci

d ( dgi dg^ dguX

Multiplions cette equation par dt et integrons entre les limites /q ^t ^ ^o ctant

1 2 INTRODUCTION.

suppose independanl des constantes c, ; nous trouverons

les indices to et / places au-dessous des parentheses indiquant qu*il faut v reni- placer / successivement par / et t^. Posons

(3o) ^^r (T-^U)^^;

cette fonction a etc appelee par Hamilton Jonction principale; elle est, d'apres cc qui precede, exprimee a i'aide de / et des ik constantes arbitraires r,, Cj, ..., c/, ..., c^f,. Donnons a ces constantes des variations infiniment petites 2c, independantes les unes des autres ; designons par o^r, et SS les variations corres- pondantes de qi et de S; nous aurons

OCx dct OCi dctk

O7.= 5^3c,-^^^oc.-f-

0^1

Designons par {pi\^ (9i)of {^9i)o ^c que deviennent les expressions de/?,, y,- et Sy, quand on y fait / = ? si nous multiplions Tequation (29) par oci et si, attribuant a Tindice i les valeurs i, 2, ..., 2^, nous faisons la somme des equations obtenues, nous trouverons

S etait d'abord, comme nous Tavons dit, une fonction de / et des 2k constantes arbitraires; or, en designant par ^i une certaine fonction de / et des constantes, on a

(32) qi ^i{tyCi,Ci,.,,,ctk)> d'ou Ton deduit

(33) {qi)o Ki{hiCiyCf, ...,Cjx).

On a * equations telles que (32) et k tellcs que (33); on en pent tirer les va- leurs des 2k constantes c,, c^, ..., Csa en fonction de /, i^t q^, 92* •••> 9a ct de

INTRODUCTION. 1 3

WOo» (92)0^ •••» (^a)© et les reporter dans S, qui deviendra unc fonction des memes quantites; on aura done, en remarquant que dans le calcul de 8S on ne doit faire varier ni / ni /o>

(34) '

En comparant les expressions (3i) et (34) de BS, on trouve

<^') W^=^" W^^^" ■■■' O^k'^"

On pent maintenant, si I'on veut, regarder les 2k quantites (91)0 > (^2)0* •••• (y*)©* (Pi)of (P2)of •••» (a)« commc de nouvelles constantes arbi- traires pouvant remplacer les anciennes c,, c^, ..., c^^^; alors les 2^ equa- tions (35) et (36) seront les integrates generates des equations (28). En se plagant au point de vue special du probleme de Dynamique considere, on pourra dire que les equations (36) sont les integrates de ce probleme; car, a elles seules, elles donnent les valeurs dc ^,, g.2, ..., q^ et, par suite, les valeurs des coordonnees de tous les points du systeme exprimees en fonction de / et de nk constantes arbitraires. La forme remarquable sous laquelle se presentent les equations (36) donne lieu au theoreme suivant, du a Hamilton :

Les intdgrales d'un probleme de Dynamique^ dans lequel les liaisons sont mde- pendantes du temps et oil il existe une fonction des forces independante des vi- tesseSf peuvent toutes s'exprim^r en egalant a des constantes les derivees partieUes d^une autre fonction S prise par rapport a d'autres constantes.

D'apres la mani^re dont la fonction S a ete introduite, il semble que, pour la connaitre, il soit necessaire d'avoir prealablement resolu le probleme propose; il parait en effet necessaire d'exprimer d'abord T -h U en fonction de t et des

2* constantes c,, d'effectuer la quadrature / (T-hU)rf/ et d'exprimer ensuite

le resultat, en fonction de /, des k variables q^, q^, •••» ^a et des k constantes (?«)•' (9-2)0* •••» (y*)©? heureusement, on pent operer autrement. Hamilton a prouve, en effet, que cette fonction S verifie une certaine equation aux derivees partieUes du premier ordre.

Pour le faire voir, remarquons que Tequation (3o) donne

37) f=T + U.

1 4 INTRODUCTION.

D'apres ce qu'on a dit plus haul, S est une fonction de t^ des variables qi et des constantes {qi)^ ; S contient done le temps explicitement et implicitement, et Ton aura

^S ()S ^ e^S dqt

'di ~' 'dl ^ ^dqt^l

ou bien, en tenant compte de (35) et (Sy),

^ + ^ = ^^+2^5 ou encore, en ayant egard a la formule (^S),

at

Posons comme precedemment H = T U, et nous aurons

(38) ^ + H = ^-

La fonction U ne contient que le temps / et les variables qi\ mais T depend des variables y, et q\ ou bien des variables qi et/?,; on pent done ecrire Tequa- tion(38) comme il suit :

-jl -^-H(^ qu qu . ., qk; pu pu •»/>*) Oy

ou encore, en ayant egard aux formules (35),

On voit done que la fonction S est une integrale complete d'une equation aux derivees partielles du premier ordre, dans laquelle figurent les A 4- i variables independantes /, ^,, q^, ...» qk\ cette integrale contient les k constantes (^i)o, (5^2)o» •• » (y*)©* sans compter la constante qu'on pent lui ajouter directement, puisque I'equation (39) ne contient pas S, mais seulement ses derivees par- tielles.

Remarque. L'equation (39) estdu second degre par rapport aux derivees 5~"' 5^' '"' T^'^ celaest une consequence des formules (16') et( 35).

6. R6ciproqu6 de Jacobi. II y avait lieu de se demander si, en prenant pour S une integrale complete quelconque de I'equation (Sg), on aurait encore les integrales du mouvement sous la forme remarquable exprimee par les equa-

INTKODUCTION. 1 5

tions(35) et (36); c'est ce qu'a fait Jacobi en demontrant le beau theoreme suivant :

Soil V equation

dans ktquelle H = T U e^/ une fonction de t et des ik variables ^1,^2, ..., q^^

P\^P2* '"^Pkl enfaisant pi = -^-i on ohtient une Equation aux derivdes partieUes

du premier ordre nontenant A -hi variables independantes t^ q^^ q^y .^.^ qn* Suppo- sons que I' on ait ohtenu une integrale complete S de cette equation, cest-a-dire une solution fonction de t et des k variables y, et contenant k constantes arbitraires, a,, aa, ..., a;^, independamment de la constante que Von peut toujours ajouter di- rectement a S ; alors les equations

dans lesqueUes ^,, ^j, ..., P* designent k nouvelles constantes , sewnt les integrates gendrales du systems des 2 k Equations diffdrentielles simukanies

(43)

dq, ^H

dt dpx '

dpx dt

dqx

dqk dR

dt dpk '

dpk dt

dR

Differentions en effet les equations (4i)compIetement par rapport au temps: nous aurons

(^»S _^S_ dq, (^«S dqj, ()«S dqk _

doci dt dctx Oqt dt da^ dq^ dt ' ' ' d<Xi dqk dt ~~ '

(^«S (^«S dq, <)»S dq^ ()«S dqk

(44) { doL^dt ' doCfdqi dt ' doL^dq% dt dct^dqk dt *

* »

d*S d^S dq, d^^ diqt ()«S dqk __

dockdt doLkdqx dt dotkdqt dt ' ' ' doLkdqk dt

Si, dans Tequation (4^), on suppose S remplace par sa valeur en fonction de /, des variables qi el des constantes a^, on aura une identite ; on peut done differentier relativement aux constantes a, ou par rapport aux variables q\. Fai-

I G INTRODUCTION .

sons-le d'abord par rapport a a, : nous trouverons

d*s , dn dp, on dp, , on dp^_

dt doLx Opi dcti dpi 0^1 dpi- dot,.

ou bien, en tenant compte de (4^)»

(?«S <)H d*'^ dR (?»S dVL d^^

dl doLi dpx df/i dxi dp, dq% da, dpa dqk doc^

On trouvera d'autres equations toutes pareilles en differentiant (4o) par rap- port a aa, a,, ..., a^t, et I'on pourra ecrire cet ensemble d*equations

/ (}»S (?«S dH d'S dU d^S dH

4- ... 4- -:i -T— J— = O,

dt dctx dqx doLx dpx dq, da, dp, dqk dax dpk

d»S c?«S ^H d^^ d^ c^*S d^